Racines en progression arithmétique
Partie
Question
Soit le polynôme \(P(X)=27X^3-27X^2+cX+8\), \(c\in R\).
On suppose que \(P\) possède trois racines réelles, en progression arithmétique,
notées \(\lambda_1=\alpha-r\), \(\lambda_2=\alpha\), \(\lambda_3=\alpha+r\), avec \(\alpha\) et \(r\) réels, \(r\) positif.
Calculer les trois fonctions symétriques élémentaires des racines de \(P\), en fonction de \(\alpha\) et de \(r\).
Aide à la lecture
Dans une progression arithmétique on passe d'un terme au suivant en ajoutant une constante.
Les fonctions symétriques élémentaires des racines sont :
\(\sigma_1=\lambda_1+\lambda_2+\lambda_3\), \(\sigma=\lambda_1\lambda_2+\lambda_1\lambda_3+\lambda_2\lambda_3\), \(\sigma_3=\lambda_1\lambda_2\lambda_3\).
Solution détaillée
Dire que les racines réelles de \(P\), notées \(\lambda_1\), \(\lambda_2\), \(\lambda_3\) avec \(\lambda_1<\lambda_2<\lambda_3\) sont en progression arithmétique équivaut à dire qu'elles satisfont à \(\lambda_2-\lambda_1=\lambda_3-\lambda_2=r\), \(r>0\).
Alors si \(\lambda_2\) est appelée \(\alpha\), les deux autres vérifient \(\lambda_1=\alpha-r\), \(\lambda_3=\alpha+r\).
Calcul de \(\sigma_1\)
\(\sigma_1=\lambda_1+\lambda__2+\lambda__3\) donc \(\sigma_1=3\alpha\).
Calcul de \(\sigma_2\)
\(\sigma_2=\lambda_1\lambda_2+\lambda_1\lambda_3+\lambda_2\lambda_3\)donc \(\sigma_2=(\alpha-r)\alpha+(\alpha-r)(\alpha+r)+\alpha(\alpha+r)=3\alpha^2-r^2\).
Calcul de \(\sigma_3\)
\(\sigma_3=\lambda_1\lambda_2\lambda_3\) donc \(\sigma_3=\alpha(\alpha-r)(\alpha+r)=\alpha(\alpha^2-r^2)\).
Question
Montrer qu'il existe un réel \(c\) tel que \(P\) possède trois racines réelles, en progression arithmétique. On précisera dans ce cas les trois racines réelles de \(P\).
Aide simple
Rappel du théorème. Relations entre coefficients et racines :
Si \(P(X)=aX^3+bX^2+cX+d,a\neq 0\), \(\sigma_1=-\frac ab\),\(\sigma_2=\frac ca\), \(\sigma_3=-\frac da\)
Aide méthodologique
Raisonner par condition nécessaire puis vérifier que la condition trouvée est suffisante.
Solution détaillée
On recherche une condition nécessaire pour c en supposant le problème résolu.
En appliquant le théorème : Relations entre coefficients et racines, on obtient
\(\sigma_1=-\frac{-27}{27}\), \(\sigma_2=\frac{c}{27}\), \(\sigma_3=-\frac{8}{27}\).
En utilisant les résultats de la question précédente on trouve les conditions nécessaires :
(1) \(3\alpha=1\), (2) \(3\alpha^2-r^2=\frac{c}{27}\), (3) \(\alpha(\alpha^2-r^2)=-\frac{8}{27}\).
Alors (1) \(\Rightarrow \alpha=\frac{1}{3}\), puis (3) \(\Rightarrow \frac 19-r^2=-\frac89\Rightarrow r^2=1\Rightarrow r=1\) car \(r>0\).
Enfin (2) \(\Rightarrow c=27\left(\frac13-1\right)=-18\).
On vient de montrer que si \(P\) possède trois racines réelles, en progression arithmétique, alors nécessairement \(c=-18\), \(\lambda_2=\rfac13\), \(\lambda_1=-\frac23\), \(\lambda_3=\frac 43\).
Réciproquement si \(c=-18\) alors \(P(X)=27X^3-27X^2-18X+8\) et on vérifie
que \(-\frac23, \frac13, \frac 43\) sont ses racines. De plus \(-\frac23+1=\frac13,\frac13+1=\frac43\), donc elles sont bien en progression arithmétique.
Conclusion : Il existe un unique réel \(c=-18\) tel que \(P\) possède trois racines réelles, en progression arithmétique.
Dans ce cas les trois racines réelles sont \(-\frac23, \frac13, \frac 43\).