Notion de matrice diagonalisable, de valeur propre d'une matrice, de vecteur propre d'une matrice

On a les définitions suivantes :

Définition : Définitions et propriétés immédiates

Soit une matrice carrée d'ordre à coefficients dans est égal à ou .

  1. On dit que est diagonalisable si elle est semblable à une matrice diagonale c'est-à-dire s'il existe deux matrices et de telles que soit diagonale, inversible et .

  2. Une matrice colonne appartenant à est un vecteur propre de si :

    et , .

  3. Un élément de est une valeur propre de si il existe , non nul, appartenant à tel que .

  4. Un élément de est une valeur propre de si et seulement si det .

  5. On appelle polynôme caractéristique de le polynôme det . On le note .

  6. Un élément de est une valeur propre de si et seulement c'est une racine du polynôme caractéristique de .

  7. Le sous-espace propre associé à la valeur propre est égal à l'ensemble des appartenant à tels que autrement dit l'ensemble des matrices colonnes telles que .

Exemple : Polynôme caractéristique d'une matrice carrée d'ordre 2

Soit une matrice carrée d'ordre à coefficients réels ou complexes.

Alors ,

soit

En remarquant que est la trace de la matrice et son déterminant, cette formule peut être écrite :

det

En fait ce résultat se généralise au cas d'une matrice carrée d'ordre . On a la propriété suivante :

Propriété : Quelques coefficients particuliers du polynôme caractéristique

Soit un élément de , alors :

Preuve

Le terme constant de est , soit det .

On a det

Seul le terme du développement fournit des termes en . En développant ce produit, on obtient un terme en en "gardant " dans facteurs et la constante dans le n-ième, le coefficient de est donc

.

La proposition suivante résulte immédiatement de la définition du polynôme caractéristique d'une matrice et des propriétés des déterminants.

Proposition : Polynôme caractéristique et matrices semblables

Soient et deux matrices semblables de .

Alors .

Preuve

Soient et deux matrices semblables : il existe donc une matrice inversible de telle que . Alors .

Les matrices et sont donc semblables et par conséquent ont le même déterminant.

La propriété suivante, utile dans la pratique, résulte immédiatement des calculs de déterminants des matrices triangulaires

Proposition : Valeurs propres d'une matrice triangulaire

Soient une matrice triangulaire de .

Ses valeurs propres sont les éléments de la diagonale principale.

Exemple

Soit .

Les valeurs propres de sont et .

Légende :
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