Endomorphisme ou matrice diagonalisable

Soit \(E\) un espace vectoriel de dimension \(n\) sur \(\mathbf K\) et \(f\) un endomorphisme de \(E\). Soit \(B\) une base de \(E\) et \(M\) la matrice associée à \(f\) dans \(B\). Dire que \(f\) est diagonalisable équivaut à dire qu'il existe une base \(B'\) de \(E\) dans laquelle la matrice de \(f\) est une matrice diagonale \(D\). On sait que deux matrices sont associées à un même endomorphisme par rapport à des bases différentes si et seulement si elles sont semblables. Donc \(f\) est diagonalisable si et seulement si \(M\) est semblable à une matrice diagonale, c'est-à-dire si et seulement si \(M\) est diagonalisable.

Soit \(M\) une matrice carrée appartenant à \(M_n(\mathbf K)\), on peut considérer l'unique endomorphisme \(f\) de \(\mathbf K^n\) qui lui est associé dans la base canonique. Alors d'après les définitions et les propriétés rappelées ci-dessus, \(M\) est diagonalisable si et seulement si \(f\) est diagonalisable.

Il est immédiat que les définitions sont telles que si \(M\) est la matrice associée à un endomorphisme \(f\) par rapport à une base \(B\), alors :

• les valeurs propres de l'un sont les valeurs propres de l'autre (puisque det\((f-XId_E)= \)det\((M-XI_n)\)),

• la matrice colonne \(V\) associée à un vecteur propre \(v\) de \(f\) dans la base \(B\) est un vecteur propre de \(M\) et réciproquement le vecteur \(v\) de \(E\) qui admet comme composantes dans la base \(B\) les coefficients d'une matrice colonne \(V\) vecteur propre de \(M\) est un vecteur propre de \(f\) (puisque \(f(v)=\lambda v\Leftrightarrow MV=\lambda V\)).

Par conséquent, les sous-espaces propres associés à \(\lambda\) valeur propre respectivement de \(f\) et \(M\) sont isomorphes, par l'isomorphisme qui associe à un vecteur la matrice colonne de ses composantes dans la base \(B\).

Il y a donc coïncidence parfaite entre ces notions relatives à une matrice ou à un endomorphisme. Cela justifie la similitude de vocabulaire.

Tous les théorèmes qui suivent, dont la finalité est de trouver des conditions pour qu'un endomorphisme ou une matrice soit diagonalisable, sont donc communs. Les démonstrations théoriques sont faites la plupart du temps dans le cadre vectoriel, c'est-à-dire pour les endomorphismes car elles s'y expriment plus simplement.

Par contre, il est clair que pour faire les calculs explicites, et cela a été parfaitement illustré par les exemples traités dans les paragraphes précédents, on utilise le calcul matriciel.

C'est toute la richesse du double langage qui existe dans ce domaine, vectoriel ou matriciel.

Ce type de problème ne se pose pas pour un endomorphisme car le corps de base de l'espace vectoriel est fixé au départ.