Somme directe de sous-espaces propres
Définition : Somme directe de plus de deux sous-espaces vectoriels

Soit est un espace vectoriel sur un corps et  sous-espaces vectoriels de . La somme est directe si et seulement si tout élément de s'écrit d'une manière unique sous la forme avec élément de .

On la note alors .

Rappel : Quelques résultats sur les sommes directes de plus de deux sous-espaces vectoriels
  • Soit un -espace vectoriel et , des sous-espaces vectoriels de . La partie de , notée , définie par

    est un sous-espace vectoriel de , appelé somme des sous-espaces

  • Une condition nécessaire et suffisante pour que la somme de sous-espaces vectoriels soit directe est que s'écrive de manière unique sous la forme de somme d'éléments des , autrement dit que l'on ait la propriété :

  • Si est un espace vectoriel de type fini et si les sous-espaces sont en somme directe, on a la relation :

    dim dim

On a le théorème suivant :

Théorème : Somme directe de sous-espaces propres

Soit un endomorphisme d'un espace vectoriel de type fini qui admet au moins deux valeurs propres distinctes. Soit un entier supérieur ou égal à , des valeurs propres distinctes de et les sous-espaces propres associés.

Alors la somme est directe, ce qui est noté

Preuve

Cette propriété joue un rôle essentiel dans cette théorie. Sa preuve est basée sur une démonstration par récurrence.

  • Si , soient deux valeurs propres distinctes de .

    On va montrer que Pour cela il suffit de prouver que si et sont deux vecteurs respectivement de et , alors

    Or : . Donc les vecteurs et vérifient les deux égalités

    Ces égalités impliquent l'égalité . (c'est la relation obtenue en prenant la deuxième ligne moins fois la première).

    Comme d'après l'hypothèse, et sont deux valeurs propres distinctes, il en résulte immédiatement . D'où, d'après la première relation, .

  • Supposons la propriété vraie pour valeurs propres et démontrons la pour .

  • Le type de calcul est le même que pour . Soient des éléments de respectivement tels que .

    Alors on a . Les vecteurs vérifient donc les deux relations

    Ces deux relations impliquent . Or, pour tout compris entre et est un élément de (puisque est un sous-espace vectoriel). Alors on est ramené à une somme de éléments des sous-espaces propres avec et on peut appliquer l'hypothèse de récurrence. Il vient alors .

    Comme : , alors . La relation initiale donne ce qui achève la démonstration.

Cette propriété peut aussi être démontrée par l'absurde. La technique de calcul utilisée est la même.

Démonstration : Démonstration par l'absurde de la propriété

Les hypothèses et les notations sont celles de l'énoncé.

Supposons que la somme ne soit pas directe. Il existe donc des vecteurs non tous nuls de dont la somme est nulle.

Le nombre de vecteurs d'une telle somme est un entier compris entre et . Comme toute partie non vide de a un plus petit élément on peut choisir une telle famille ayant le plus petit nombre d'éléments.

Il existe donc un entier , plus petit entier compris entre et tel que les propriétés suivantes soient satisfaites :

  • il existe des entiers vérifiant

  • il existe des vecteurs appartenant à appartenant à appartenant à , tels que .

L'égalité implique , soit . Donc on a :

d'où on déduit l'égalité : .

Cette somme de vecteurs de comporte termes et est nulle.

Compte tenu de la définition de , les vecteurs qui interviennent sont tous nuls et par conséquent : . On a donc une contradiction puisque les vecteurs sont non nuls et les valeurs propres considérées distinctes deux à deux.

Légende :
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