Ordre de multiplicité d'une valeur propre et dimension du sous-espace propre associé |
Quelques propriétés des polynômes utiles ici :
Soit
un polynôme à coefficients dans un corps
, et
un scalaire.
On rappelle que
est racine de
si
.
Alors on a la propriété suivante : l'élément
de
est racine de
si et seulement si il existe un polynôme
à coefficients dans
tels que
.
Cela permet de définir la notion d'ordre de multiplicité d'une racine d'un polynôme. Soit
, élément de
, une racine de
. Alors il existe un entier strictement positif
et un polynôme
à coefficients dans
tels que :
L'entier
est appelé l'ordre de multiplicité de la racine
. C'est la plus grande puissance
de que l'on peut mettre en facteur dans
.
Si
est égal à
, on dit que
est une racine simple de
.
Le théorème suivant établit un lien entre l'ordre de multiplicité d'une valeur propre et la dimension du sous-espace propre associé.
Soit
un endomorphisme d'un espace vectoriel
de type fini. On suppose que
a des valeurs propres et soit
une valeur propre de
d'ordre de multiplicité
en tant que racine du polynôme caractéristique. Alors, si
est le sous-espace propre associé à
, on a l'inégalité :
Elle est basée sur le théorème de la base incomplète qui permet d'obtenir une base dans laquelle la matrice associée à
a une expression rendant facile le calcul de son polynôme caractéristique.
Soit
la dimension de
. Puisque
est une valeur propre de
n'est pas réduit à
; soit
sa dimension. On a
.
Si
, et
est égale à l'application linéaire
dont le polynôme caractéristique est égal à
. Alors
et l'inégalité (large) souhaitée est vraie.
Si
, soit
une base de
. D'après le théorème de la base incomplète, il existe
vecteurs
tels que
soit une base de
. Alors la matrice associée à
dans cette base est de la forme
. D'après les formules de développement des déterminants, il vient immédiatement
, ce qui prouve que
est une racine de
d'ordre au moins égal à
, d'où l'inégalité souhaitée :
.
Une conséquence intéressante de cette propriété est donnée par le corollaire suivant.
Si
est une valeur propre simple d'un endomorphisme (respectivement d'une matrice). La dimension du sous-espace propre associée est égale à
.
En effet, d'une part, on sait que
est non réduit à
, donc sa dimension est supérieure ou égale à
.
D'autre part, d'après la propriété précédente, la dimension de
est inférieure ou égale à l'ordre de multiplicité
de comme racine du polynôme caractéristique, donc :
.
D'où le résultat.