Ordre de multiplicité d'une valeur propre et dimension du sous-espace propre associé

Quelques propriétés des polynômes utiles ici :

Propriété

Soit un polynôme à coefficients dans un corps , et un scalaire.

On rappelle que est racine de si .

Alors on a la propriété suivante : l'élément de est racine de si et seulement si il existe un polynôme à coefficients dans tels que .

Cela permet de définir la notion d'ordre de multiplicité d'une racine d'un polynôme. Soit , élément de , une racine de . Alors il existe un entier strictement positif et un polynôme à coefficients dans tels que :

L'entier est appelé l'ordre de multiplicité de la racine . C'est la plus grande puissance de que l'on peut mettre en facteur dans .

Si est égal à , on dit que est une racine simple de .

Le théorème suivant établit un lien entre l'ordre de multiplicité d'une valeur propre et la dimension du sous-espace propre associé.

Théorème

Soit un endomorphisme d'un espace vectoriel de type fini. On suppose que a des valeurs propres et soit une valeur propre de d'ordre de multiplicité en tant que racine du polynôme caractéristique. Alors, si est le sous-espace propre associé à , on a l'inégalité :

Preuve

Elle est basée sur le théorème de la base incomplète qui permet d'obtenir une base dans laquelle la matrice associée à a une expression rendant facile le calcul de son polynôme caractéristique.

Soit la dimension de . Puisque est une valeur propre de n'est pas réduit à ; soit sa dimension. On a .

  • Si , et est égale à l'application linéaire dont le polynôme caractéristique est égal à . Alors et l'inégalité (large) souhaitée est vraie.

  • Si , soit une base de . D'après le théorème de la base incomplète, il existe vecteurs tels que soit une base de . Alors la matrice associée à dans cette base est de la forme . D'après les formules de développement des déterminants, il vient immédiatement , ce qui prouve que est une racine de d'ordre au moins égal à , d'où l'inégalité souhaitée : .

Une conséquence intéressante de cette propriété est donnée par le corollaire suivant.

Corollaire : Dimension du sous-espace propre associé à une valeur propre simple

Si est une valeur propre simple d'un endomorphisme (respectivement d'une matrice). La dimension du sous-espace propre associée est égale à .

En effet, d'une part, on sait que est non réduit à , donc sa dimension est supérieure ou égale à .

D'autre part, d'après la propriété précédente, la dimension de est inférieure ou égale à l'ordre de multiplicité de comme racine du polynôme caractéristique, donc : .

D'où le résultat.

Légende :
Apprendre
S'évaluer
S'exercer
Observer
Simuler
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