TEST A : Diagonalisation et stabilité de sous-espaces vectoriels
Le test comporte 2 questions :
Recherche des sous-espaces vectoriels stables par un endomorphisme
Endomorphisme dont le carré est l'opposé de l'identité
La durée indicative du test est de 50 minutes.
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Recherche des sous-espaces vectoriels stables par un endomorphisme

Soit un -espace vectoriel de dimension 3, étant ou , et soit une base de .

On considère l'endomorphisme de défini par :

On dit qu'un sous-espace vectoriel de est stable par si l'image de tout élément de appartient à : .

Dans ce cas, l'application de dans qui à associe est un endomorphisme de , notée et nommée restriction de à .

  1. Déterminer tous les sous-espaces vectoriels de de dimension 1, stables par .

  2. Soit un sous-espace vectoriel de de dimension 2, stable par .

    • Montrer que le polynôme caractéristique de , restriction de à , divise le polynôme caractéristique de .

    • En déduire que est somme directe de deux sous-espaces propres de .

  3. Déterminer tous les sous-espaces vectoriels de , stables par .

Endomorphisme dont le carré est l'opposé de l'identité

Soient un espace vectoriel réel de dimension finie n, , l'application identique de dans , et f un endomorphisme de vérifiant :

.

  1. Montrer qu'aucun vecteur de n'est vecteur propre de et que la dimension de est paire.

  2. Soit un vecteur non nul de .

    Montrer que le sous-espace vectoriel Fu de E engendré par et est de dimension 2 et qu'il est stable par (c'est-à-dire ).

  3. Soit un sous-espace vectoriel de stable par et soit un vecteur de , n'appartenant pas à .

    Montrer que pour et réels, la relation entraîne .

  4. Montrer que possède une base de la forme .

  5. Quel est le polynôme caractéristique de ?

Vous allez maintenant comparer vos réponses avec celles qui vous sont proposées.

Pour chaque question, vous vous noterez en fonction de la note maximum indiquée en tenant compte des indications éventuelles de barème.

A la fin du test un bilan de votre travail vous est proposé. Il apparaît entre autres une note liée au test appelée "seuil critique". Il s'agit de la note minimum qu'il nous paraît nécessaire que vous obteniez sur l'ensemble du test pour considérer que globalement vous avez assimilé le thème du test et que vous pouvez passer à la suite.

Recherche des sous-espaces vectoriels stables par un endomorphisme
  1. Soit un sous-espace vectoriel de stable par et de dimension 1. Alors est engendré par un élément , non nul. Puisque appartient à , il existe un scalaire tel que . Donc est un vecteur propre de .

    Réciproquement, si u est un vecteur propre de , associé à la valeur propre , le sous-espace vectoriel engendré par est de dimension 1 et est stable par :

    en effet, pour tout scalaire de .

    On est donc conduit à rechercher les vecteurs propres de .

    Soit la matrice de dans la base , et le polynôme caractéristique de .

    Après calculs on trouve .

    Ce polynôme est scindé et a toutes ses racines simples, on en déduit que f est diagonalisable et que ses sous-espaces propres sont de dimension 1. Donc deux vecteurs propres associés à la même valeur propre engendrent le même sous-espace vectoriel qui est le sous-espace propre associé à .

    On en déduit que les seuls sous-espaces stables par de dimension 1 sont les trois sous-espaces propres de , associés aux valeurs propres -1, 1 et 2.

    On détermine ces trois sous-espaces :

    donc

    donc

    donc

    Remarque :

    Lorsqu'un sous-espace propre a une dimension supérieure ou égale à 2, on peut construire une infinité de sous-espaces de dimension 1, stables par :

    en effet supposons que v1 et v2 sont deux vecteurs propres non colinéaires, associés à la même valeur propre ; pour appartenant à , le vecteur est aussi un vecteur propre de f associé à la valeur propre et le sous-espace vectoriel qu'il engendre est donc de dimension 1et stable par ; or si et sont distincts, et ne sont pas colinéaires donc les sous-espaces vectoriels et sont distincts, de dimension 1 et stables par .

    • Soit un sous-espace vectoriel de de dimension 2, stable par .

      Comme est stable par , on peut considérer la restriction de à , est ainsi définie : pour tout appartenant à , .

      Soit une base de , comme et sont des combinaisons linéaires de u1 et u2, la matrice de dans la base est de la forme , et le polynôme caractéristique de est .

      On peut alors compléter la base de avec un troisième vecteur de , pour obtenir une base de .

      La matrice de f dans la base est donc de la forme :

      .

      Le polynôme caractéristique de s'écrit donc : .

      On a bien montré ainsi que le polynôme caractéristique de divise le polynôme caractéristique de .

    • D'après la question précédente, le polynôme caractéristique de divise le polynôme caractéristique de , et comme ce dernier a trois racines distinctes -1, 1 et 2, on en déduit que le polynôme caractéristique de a deux racines distinctes et que est donc diagonalisable, donc admet comme base deux vecteurs propres de associés aux deux racines du polynôme caractéristique de .

      Or les vecteurs propres de sont des vecteurs propres de : en effet si est un élément de tel que , alors comme , est un élément de tel que .

      Donc cette base de vecteurs propres de est formée de deux vecteurs propres associés à deux valeurs propres de distinctes ; comme chacun des sous-espaces propres de est de dimension 1, tout vecteur propre non nul leur appartenant en forme une base.

      Donc est somme directe de deux sous-espaces propres parmi .

  2. Les sous-espaces vectoriels de stables par sont donc :

    {0}, sous-espace vectoriel de dimension 0,

    , sous-espaces vectoriels de dimension 1,

    , sous-espaces vectoriels de dimensions 2,

    , l'espace vectoriel de dimension 3.

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Endomorphisme dont le carré est l'opposé de l'identité
  1. Soit un vecteur non nul de .

    Si était un vecteur propre de , il existerait un réel tel que , par suite .

    Or donc , d'où , ce qui est absurde puisque n'est pas nul et est réel.

    Si la dimension de était impaire, le polynôme caractéristique de serait de degré impair, il aurait donc une racine réelle qui serait valeur propre de : admettrait des vecteurs propres ce qui est contraire au résultat précédent.

    Autre démonstration : le déterminant de est un nombre réel vérifiant .

    Comme est un nombre positif, on en déduit que est pair.

  2. Soit un vecteur non nul de .

    D'après la question précédente, n'est pas vecteur propre de donc et ne sont pas colinéaires, et forment un système libre.

    Le sous-espace vectoriel Fu de E engendré par et admet donc comme base, il est de dimension 2.

    Pour tout appartenant à Fu, il existe et tels que .

    Alors , donc appartient à Fu :

    Fu est stable par .

  3. Soit un sous-espace vectoriel de stable par , et soit un vecteur de , n'appartenant pas à .

    On suppose qu'il existe des réels et tels que .

    Comme est stable par , on en déduit que l'image par de appartient à , cette image est ; comme est un sous-espace vectoriel, toute combinaison linéaire de et de appartient à , en particulier appartient à , ceci entraîne la relation , sinon le nombre serait inversible dans et appartiendrait à , ce qui est contraire à l'hypothèse faite sur .

    Donc et comme et sont des réels, il vient .

  4. On démontre la propriété (*) suivante :

    L'espace vectoriel E possède une base de la forme (*).

    Soit e1 un vecteur non nul de et F1 soit le sous-espace de engendré par e1 et .

    Si F1 est égal à , la propriété (*) est démontrée car est une base de F1 (d'après la question 1).

    Si F1 n'est pas égal à , on sait de plus F1 que est stable par , et il existe un vecteur e2 de n'appartenant pas à F1.

    Soit F2 le sous-espace de engendré par e2 et .

    De même que F1, le sous-espace F2 est stable par et admet comme base.

    De plus, d'après la question 2, donc la somme de F1 et F2 est directe et admet comme base.

    Si est égal à , la propriété (*) est démontrée.

    Sinon il est immédiat qu'on a aussi stable par , et il existe un vecteur e3 de n'appartenant pas à , et on recommence, jouant le rôle du sous-espace de la

    question 2. On construira alors un sous-espace admettant comme base et stable par .

    Ce procédé s'achèvera au bout d'un nombre fini d'étapes, car est de dimension finie.

    On aura ainsi construit une base de de la forme .

    On retrouve le fait que l'espace vectoriel est de dimension paire .

  5. Pour trouver le polynôme caractéristique de , on considère la matrice de dans la base .

    Comme , cette matrice est la matrice carrée d'ordre suivante :

    et .

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Bilan
Nombre de questions :2
Score obtenu :/29
Seuil critique :20
Temps total utilisé :
Temps total indicatif :50 min.
Conclusion :
Légende :
Apprendre
S'évaluer
S'exercer
Observer
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