TEST B : Diagonalisation et analyse
Le test comporte 1 questions :
Limites de suites
La durée indicative du test est de 20 minutes.
Commencer
Limites de suites

Soit f l'endomorphisme de \mathbb R^3 dont la matrice dans la base canonique est :

  1. Montrer qu'il existe une base de et des réels et , vérifiant , tels que la matrice de dans la base soit :

    (On ne demande pas de calculer les vecteurs v0, v1 et v2).

  2. Soient et des réels. On construit par récurrence des vecteurs sn de de la manière suivante :

    s et pour tout entier , .

    • Calculer les coordonnées de sn dans la base .

    • Soit l'écriture de sn dans la base canonique, et soit la matrice de passage de la base canonique de à la base .

      Donner une relation entre les matrices , et .

    • Quelles sont les limites des suites et ?

Vous allez maintenant comparer vos réponses avec celles qui vous sont proposées.

Pour chaque question, vous vous noterez en fonction de la note maximum indiquée en tenant compte des indications éventuelles de barème.

A la fin du test un bilan de votre travail vous est proposé. Il apparaît entre autres une note liée au test appelée "seuil critique". Il s'agit de la note minimum qu'il nous paraît nécessaire que vous obteniez sur l'ensemble du test pour considérer que globalement vous avez assimilé le thème du test et que vous pouvez passer à la suite.

Limites de suites
  1. On calcule le polynôme caractéristique de :

    On ajoute les deux dernières lignes à la première, on fait apparaître ainsi le facteur , par suite :

    ,

    on retranche ensuite la première colonne aux deux autres et on termine le calcul, on obtient :

    Les racines de sont et .

    L'endomorphisme admet trois valeurs propres distinctes 1, et , vérifiant , il est donc diagonalisable.

    Soient v0 un vecteur propre de associé à la valeur propre 1, v1 un vecteur propre de associé à la valeur propre , et v2 un vecteur propre de associé à la valeur propre , alors est une base de vecteurs propres de et la matrice de dans cette base est bien

  2. Soient et des réels. On considère les vecteurs les vecteurs sn de suivants :

    et pour tout entier .

    • On calcule s1 :

      On fait l'hypothèse suivante : .

      On démontre cette égalité par récurrence :

      cette égalité est vraie pour ,

      on la suppose vraie pour un entier : ,

      alors :

      donc l'égalité est vraie pour l'entier , donc vraie pour tout entier .

      Les coordonnées de sn dans la base sont donc .

      Autre démonstration :

      En associant sn au vecteur le vecteur colonne de ses coordonnées dans la base , la relation se traduit sous forme matricielle par , et par récurrence on obtient : , où est le vecteur colonne des coordonnées de s0 dans la base .

      Or , donc

      D'où les coordonnées de sn dans la base sont .

    • Soit la matrice de passage de la base canonique de à la base .

      Comme sont les coordonnées de sn dans la base canonique et comme sont les coordonnées de sn dans la base , on a la relation :

    • La matrice est une matrice carrée d'ordre 3, dont les coefficients sont des réels fixés. Par suite chacun des réels est de la forme , or et sont des réels positifs strictement inférieurs à 1, donc les suites ,et tendent vers 0.

      On en déduit que les suites et tendent vers 0 quand tend vers l'infini.

0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Bilan
Nombre de questions :1
Score obtenu :/10
Seuil critique :7
Temps total utilisé :
Temps total indicatif :20 min.
Conclusion :
Légende :
Apprendre
S'évaluer
S'exercer
Observer
Simuler
Réalisé avec Scenari (nouvelle fenêtre)