Endomorphisme de R^4 défini avec paramètres

Partie

Question

On considère l'endomorphisme \(f\) de \(\mathbb R^4\) dont la matrice dans la base canonique est :

\(A=\left(\begin{array}{cccc}1&0&0&0\\a&1&0&0\\b&d&2&0\\c&e&k&2\end{array}\right)\)

Quelle condition nécessaire et suffisante les réels \(a, b, c, d, e, k\) doivent-ils vérifier pour que \(f\) soit diagonalisable ?

Aide méthodologique

Utiliser la condition nécessaire et suffisante pour qu'un endomorphisme d'un \(\mathbf K\)-espace vectoriel soit diagonalisable.

Pour déterminer la dimension du sous-espace propre \(E_\lambda\) associé à la valeur propre \(\lambda\), écrire que \(E_\lambda=\textrm{Ker}(f-\lambda Id_{\mathbb R^4})\) et utiliser le théorème du rang.

Solution détaillée

\(P_{\textrm{car},f}(X)=(1-X)^2(2-X)^2\)

Le polynôme caractéristique de \(f\) est scindé dans \(\mathbb R\).

\(f\) a deux valeurs propres doubles \(\lambda_1=1\) et \(\lambda_2=2\), et \(f\) est diagonalisable si et seulement si à chaque valeur propre double correspond un sous-espace propre de dimension égale à \(2\).

Soit \(E_{\lambda_1}\) le sous-espace propre associé à la valeur propre \(\lambda_1=1\).

\(E_{\lambda_1}=\textrm{Ker}(f-Id_{\mathbb R^4})\), et la matrice associée à \(f-Id_{\mathbb R^4}\) est :

\(A-I_4=\left(\begin{array}{cccc}0&0&0&0\\a&0&0&0\\b&d&1&0\\c&e&k&1\end{array}\right)\)

D'après le théorème du rang, \(\textrm{dim Ker}(f-Id_{\mathbb R^4})+\textrm{dim Im}(f-Id_{\mathbb R^4})=\textrm{dim }\mathbb R^4=4.\)

Or \(\textrm{dim Im}(f-Id_{\mathbb R^4})=\textrm{rang }(A-I_4)\).

La dimension de \(E_{\lambda_1}\) est donc égale à \(2\) si et seulement si le rang de \(A-I_4\) est égal à \(2\).

Il existe un mineur d'ordre \(2\) non nul extrait de \(A-I_4\) : \(\left|\begin{array}{cc}1&0\\k&1\end{array}\right|\), le rang de \(A-I_4\) est égal à \(2\) si et seulement si tous les mineurs d'ordre \(3\) extraits de \(A-I_4\) sont nuls.

Si \(a=0\) les deux premières lignes de \(A-I_4\) sont nulles. Tous les mineurs d'ordre \(3\) extraits de \(A-I_4\) sont nuls.

Si \(a\ne0\) il existe un mineur d'ordre \(3\) extrait de \(A-I_4\) non nul : \(\left|\begin{array}{ccc}a&0&0\\b&1&0\\c&k&1\end{array}\right|=a\).

La dimension de \(E_{\lambda_1}\) est donc égale à \(2\) si et seulement si \(a=0\).

\(E_{\lambda_2}=\textrm{Ker}(f-2Id_{\mathbb R^4})\), et la matrice associée à \(f-2Id_{\mathbb R^4}\) est :

\(A-2I_4=\left(\begin{array}{cccc}-1&0&0&0\\a&-1&0&0\\b&d&0&0\\c&e&k&0\end{array}\right)\)

D'après le théorème du rang, \(\textrm{dim Ker}(f-2Id_{\mathbb R^4})+\textrm{dim Im}(f-2Id_{\mathbb R^4})=\textrm{dim }\mathbb R^4=4\).

La dimension de \(E_{\lambda_2}\) est donc égale à \(2\) si et seulement si le rang de \(A-2I_4\) est égal à \(2\). Il existe un mineur d'ordre \(2\) non nul extrait de \(A-2I_4\) : \(\left|\begin{array}{cc}-1&0\\a&-1\end{array}\right|\), le rang de \(A-2I_4\) est égal à \(2\) si et seulement si tous les mineurs d'ordre \(3\) extraits de \(A-2I_4\) sont nuls.

Si \(k=0\) les deux dernières colonnes de \(A-2I_4\) sont nulles. Tous les mineurs d'ordre \(3\) extraits de \(A-Id_4\) sont nuls.

Si \(k\ne0\) il existe un mineur d'ordre \(3\) extrait de \(A-2I_4\) non nul : \(\left|\begin{array}{ccc}-1&0&0\\a&-1&0\\c&e&k\end{array}\right|=k\)

La dimension de \(E_{\lambda_2}\) est donc égale à \(2\) si et seulement si \(k=0\).

L'endomorphisme \(f\) est diagonalisable si et seulement si \(a=k=0\).