Polynôme caractéristique d'une matrice de Mn(K)
Partie
Question
Soit \(a_0, a_1,\cdots,a_{n-1}\) \(n\) éléments de \(\mathbf K\), on note \(M(a_0,a_1,\cdots,a_{n-1})\) la matrice :
\(\left(\begin{array}{cccccc}0&1&0&&&0\\0&0&1&&&\vdots\\\vdots&\vdots&0&\ddots&&\\\vdots&\vdots&\vdots&\ddots&\ddots&0\\0&0&0&&\ddots&1\\a_0&a_1&\cdots&&&a_{n-1}\end{array}\right)\)
Déterminer le polynôme caractéristique de cette matrice.
En déduire que pour tout polynôme \(P(X)\) appartenant à \(\mathbf K[X]\) et s'écrivant sous la forme \(P(X)=(-1)^nX^n+\alpha_{n-1}X^{n-1}+\cdots+\alpha_0\), il existe une matrice \(M\) de \(M_n(\mathbf K)\) telle que le polynôme \(P(X)\) soit le polynôme caractéristique de \(M\).
On considère le polynôme \(P(X)=X^4-5X^3+3X^2-X+1\).
Déterminer la matrice \(M\) de \(M_4(\mathbb R)\) telle que le polynôme \(P(X)\) soit le polynôme caractéristique de \(M\).
Aide méthodologique
\(P_{\textrm{car},M(a_0,a_1,\cdots,a_n-1)}(X)=\textrm{det }(M(a_0,a_1,\cdots,a_{n-1})-XI_n)\).
Si on développe ce déterminant suivant la première colonne, on obtient une relation entre le polynôme caractéristique de la matrice \(M(a_0,a_1,\cdots,a_{n-1})\) où \(a_0, a_1,\cdots,a_{n-1}\) sont \(n\) éléments de \(\mathbf K\) et celui de la matrice \(M(a_1,\cdots,a_{n-1})\) où \(a_1,\cdots,a_{n-1}\) sont \(n-1\) éléments de \(\mathbf K\). Pour déterminer le polynôme caractéristique de la matrice \(M(a_0,a_1,\cdots,a_{n-1})\) on procède alors par récurrence.
Solution détaillée
\(P_{\textrm{car},M(a_0,a_1,\cdots,a_{n-1})}(X)=\left|\begin{array}{ccccccc}-X&1&0&&&0\\0&-X&1&&&\vdots\\\vdots&\vdots&-X&\ddots&&&\\\vdots&\vdots&\vdots&\ddots&\ddots&0\\0&0&0&&-X&1\\a_0&a_1&\cdots&&&a_{n-1}-X\end{array}\right|\)
On développe ce déterminant suivant la première colonne :
\(P_{\textrm{car},M(a_0,a_1,\cdots,a_{n-1})}(X)=-X\left|\begin{array}{cccccc}-X&1&0&\cdots&0\\0&-X&&&\\0&0&\ddots&&\\\vdots&\vdots&&-X&1\\a_1&\cdots&&&a_{n-1}-X\end{array}\right|+(-1)^{n+1}a_0\left|\begin{array}{ccccc}1&0&\cdots&\cdots&0\\-X&1&&&\\0&-X&\ddots&&\\\vdots&&&\ddots&0\\0&0&\cdots&-X&1\end{array}\right|\)
Le premier déterminant est le polynôme caractéristique de la matrice \(M(a_1,\cdots,a_{n-1})\) et le deuxième déterminant est triangulaire et égal à \(1\).
D'où la relation (*) : \(P_{\textrm{car},M(a_0,a_1,\cdots,a_{n-1})}(X)=-XP_{\textrm{car},M(a_1,\cdots,a_{n-1})}(X)+(-1)^{n+1}a_0\)
C'est une relation entre le polynôme caractéristique de la matrice \(M(a_0,\cdots,a_{n-1})\) où \(a_0,a_1,\cdots,a_{n-1}\) sont \(n\) éléments de \(\mathbf K\) et celui de la matrice \(M(a_1,\cdots,a_{n-1})\) où \(a_1,\cdots,a_{n-1}\) sont \(n-1\) éléments de \(\mathbf K\). Pour déterminer le polynôme caractéristique de la matrice \(M(a_0,a_1,\cdots,a_{n-1})\) on procède alors par récurrence.
Soit \(n=2\) : on considère deux éléments de \(\mathbf K,\) \(a_0\) et \(a_1\). \(M(a_0,a_1)=\left(\begin{array}{cc}0&1\\a_0&a_1\end{array}\right)\).
\(P_{\textrm{car},M(a_0,a_1)}(X)=\left|\begin{array}{cc}-X&1\\a_0&a_1-X\end{array}\right|=X^2-a_1X-a_0\)
Pour avoir une idée de l'expression du polynôme caractéristique de \(M(a_0,a_1,\cdots,a_{n-1})\) on le calcule aussi pour \(n=3\).
Soit \(n=3\) : on considère trois éléments de \(\mathbf K\), \(a_0, a_1, a_2\) . D'après la relation (*)
\(P_{\textrm{car},M(a_0,a_1,a_2)}(X)=-XP_{\textrm{car},M(a_1,a_2)}(X)+(-1)^{3+1}a_0=-X(X^2-a_2X-a_1)+a_0\)
d'où \(P_{\textrm{car},M(a_0,a_1,a_2)}(X)=-X^3+a_2X^2+a_1X+a_0=-(X^3-a_2X^2-a_1X-a_0)\)
Soit \(P(n)\) la propriété : pour \(n\) éléments de \(\mathbf K\), \(a_0,a_1,\cdots,a_{n-1}\),
\(P_{\textrm{car},M(a_0,a_1,\cdots,a_{n-1})}(X)=(-1)^n(X^n-a_{n-1}X^{n-1}-a_{n-2}X^{n-2}-\cdots-a_0)\)
\(P(2)\) est vraie car si on considère deux éléments de \(\mathbf K\), \(a_0\) et \(a_1\),
\(P_{\textrm{car},M(a_0,a_1)}(X)=X^2-a_1X-a_0=(-1)^2(X^2-a_1X-a_0)\).
On suppose que \(P(n-1)\) est vraie (\(n\ge3\)) et démontrons alors que \(P(n)\) est vraie.
Soient \(n\) éléments de \(\mathbf K\), \(a_0,a_1,\cdots,a_{n-1}\). D'après la relation (*)
\(P_{\textrm{car},M(a_0,a_1,\cdots,a_{n-1})}(X)=-XP_{\textrm{car},M(a_1,\cdots,a_{n-1})}(X)+(-1)^{n+1}a_0\)
\(a_1,\cdots,a_{n-1}\) sont \(n-1\) éléments de \(\mathbf K\), or, d'après l'hypothèse de récurrence :
\(P_{\textrm{car} ,M(a_1,\cdots,a_{n-1})}(X)=(-1)^{n-1}(X^{n-1}-a_{n-1}X^{n-2}-a_{n-2}X^{n-3}-\cdots-a_1)\),
d'où \(P_{\textrm{car},M(a_0,\cdots,a_{n-1})}(X)=(-1)^n(X^n-a_{n-1}X^{n-1}-a_{n-2}X^{n-2}-\cdots-a_1X)+(-1)^{n+1}a_0\),
et \(P_{\textrm{car},M(a_0,\cdots,a_{n-1})}(X)=(-1)^n(X^n-a_{n-1}X^{n-1}-a_{n-2}X^{n-2}-\cdots-a_1X-a_0)\).
Si \(P(n-1)\) est vraie alors \(P(n)\) est vraie.
D'après le théorème de récurrence la propriété est vraie pour tout entier \(n\) supérieur ou égal à \(2\).
Soit \(\alpha_0, \alpha_1,\cdots,\alpha_{n-1}\) \(n\) éléments de \(\mathbf K\) et \(P(X)=(-1)^nX^n+\alpha_{n-1}X^{n-1}+\cdots+\alpha_0\).
On peut écrire
\(P(X)=(-1)^n(X^n+(-1)^n\alpha_{n-1}X^{n-1}+\cdots+(-1)^n\alpha_0)=(-1)^n(X^n-(-1)^{n-1}\alpha_{n-1}X^{n-1}-\cdots-(-1)^{n-1}\alpha_0)\)
D'après la première question \(P(X)\) est le polynôme caractéristique de la matrice \(M(a_0,a_1,\cdots,a_{n-1})\) où \(a_0=(-1)^{n-1}\alpha_0,a_1=(-1)^{n-1}\alpha_1,\cdots,a_{n-1}=(-1)^{n-1}\alpha_{n-1}\).
Remarque : la matrice \(M(a_0,a_1,\cdots,a_{n-1})\) est appelée matrice compagnon associée au polynôme \(P(X)\).
Soit le polynôme \(P(X)=X^4-5X^3+3X^2-X+1\).
Ce polynôme est de la forme \(P(X)=(-1)^nX^n+\alpha_{n-1}X^{n-1}+\cdots+\alpha_0\) avec \(n=4\),
\(P(X)\) est le polynôme caractéristique de la matrice \(M(a_0,a_1,a_2,a_3)\) où \(a_0=(-1)^{4-1}(1)=-1\), \(a_1=(-1)^{4-1}(-1)=1\), \(a_2=(-1)^{4-1}(3)=-3\), \(a_3=(-1)^{4-1}(-5)=5\).
\(M=\left(\begin{array}{cccc}0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\\-1&1&-3&5\end{array}\right)\)