Valeurs propres et vecteurs propres de l'application dérivation

Enoncé

  1. Soient un entier supérieur ou égal à , et l'espace vectoriel sur , ( étant ou ), formé du polynôme nul et des polynômes à coefficients dans de degré inférieur ou égal à .

    Déterminer les valeurs propres et les sous-espaces propres de l'endomorphisme de qui à tout polynôme associe son polynôme dérivé .

    L'application est-elle diagonalisable ?

  2. Soit l'espace vectoriel sur des fonctions numériques admettant des dérivées de tout ordre ( n'est pas un espace vectoriel de dimension finie).

    Soit l'endomorphisme de qui à toute fonction de associe sa dérivée .

    Pour tout réel , montrer qu'il existe une fonction de , non nulle, telle que et déterminer l'ensemble des fonctions de telles que .

Temps de résolution indicatif :15 mn
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