Valeurs propres d'un polynôme de matrice
Partie
Question
Soient \(\mathbf K\) égal à \(\mathbb R\) ou \(\mathbb C\), \(P\) un polynôme de \(\mathbf K[X]\), \(A\) une matrice d'ordre \(n\) à coefficients dans \(\mathbf K\). On note \(I_n\) la matrice unité d'ordre \(n\).
Si \(P(X)=a_0+a_1X+\cdots+a_pX^p\), on note par \(P(A)\) la matrice d'ordre \(n\) :
\(P(A)=a_0I_n+a_1A+\cdots+a_pA^p\).
Montrer que si \(\lambda\) est une valeur propre de \(A\) et \(k\) un entier strictement positif, alors \(\lambda^k\) est une valeur propre de \(A^k\) et \(P(\lambda)\) est une valeur propre de \(P(A)\).
Que peut-on dire des vecteurs propres correspondants ?
Soient \(M\) et \(N\) les matrices d'ordre \(3\) à coefficients complexes définies par :
\(M=\left(\begin{array}{ccc}0&0&1\\1&0&0\\0&1&0\end{array}\right)\) et \(N=\left(\begin{array}{ccc}a&c&b\\b&a&c\\c&b&a\end{array}\right)\).
Montrer qu'il existe un polynôme \(Q\) de \(\mathbb C[X]\) tel que \(N=Q(M)\).
Déterminer les valeurs propres de \(N\).
Montrer que les matrices \(M\) et \(N\) sont diagonalisables.
En déduire le déterminant de \(N\) sous forme d'un produit de trois facteurs.
Soient \(A\) et \(B\) les matrices d'ordre \(4\) à coefficients complexes définies par :
\(A=\left(\begin{array}{cccc}0&0&0&1\\1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\end{array}\right)\) et \(B=\left(\begin{array}{cccc}a&d&c&b\\b&a&d&c\\c&b&a&d\\d&c&b&a\end{array}\right)\)
Déterminer un polynôme \(T\) de \(\mathbb C[X]\) tel que \(B=T(A)\).
Déterminer les valeurs propres de \(B\).
Les matrices \(A\) et \(B\) sont-elles diagonalisables ?
Aide simple
2. On remarque que \(N=aI_3+bM+cU\) où \(U\) est une matrice à déterminer comme une puissance de \(M\).
Le déterminant d'une matrice diagonale est égal au produit des éléments de la diagonale.
Aide méthodologique
2. Une matrice \(A\) est diagonalisable si l'espace vectoriel considéré (ici \(M_{n,1}(\mathbf K)\)) admet une base de vecteurs propres de \(A\). Une condition suffisante pour qu'une matrice soit diagonalisable est que son polynôme caractéristique soit scindé dans \(\mathbf K\) et ait toutes ses racines simples.
Aide à la lecture
\(\lambda\) et \(P(\lambda)\) sont des éléments de \(\mathbf K\), car \(P(\lambda)\) est la valeur en \(\lambda\) de la fonction polynôme associée au polynôme \(P\).
\(A\) et \(P(A)\) sont des matrices carrées d'ordre \(n\).
Les vecteurs propres de \(A\) sont des éléments de \(M_{n,1}(\mathbf K)\), espace vectoriel des matrices à \(n\) lignes et \(1\) colonne.
Solution détaillée
Soient \(\lambda\) une valeur propre de \(A\) et \(V\) un vecteur propre associé, \(V\) appartient à \(M_{n,1}(\mathbf K)\), espace vectoriel des matrices à \(n\) lignes et \(1\) colonne.
Donc \(AV=\lambda V\).
On montre la propriété suivante : \(A^kV=\lambda^kV\), pour tout entier \(k\) strictement positif.
La propriété est vraie pour \(k=1\).
Supposons-la vraie pour un entier \(j\) : \(A^jV=\lambda^jV\).
Comme \(A^{j+1}V=AA^jV=A(\lambda^jV)=\lambda^jAV\), on a bien \(A^{j+1}V=\lambda^{j+1}V\).
La propriété est donc héréditaire, comme elle est vraie pour l'entier \(1\), elle est vraie pour tout entier \(k\) strictement positif.
Donc si \(\lambda\) est une valeur propre de \(A\), associée au vecteur propre \(V\), alors \(\lambda^k\) est une valeur propre de \(A^k\) associée au même vecteur propre \(V\).
Et les vecteurs propres de \(A\) sont des vecteurs propres de \(A^k\).
On en déduit l'égalité suivante :
\(P(A)(V)=(a_0I_n+a_1A+\cdots+a_pA^p)V=a_0V+a_1\lambda V+\cdots+a_p\lambda^pV\),
donc \(P(A)V=P(\lambda)V\).
Si \(\lambda\) est une valeur propre de \(A\) associée au vecteur propre \(V\), \(P(\lambda)\) est une valeur propre de \(P(A)\) associée au même vecteur propre \(V\).
Les vecteurs propres de \(A\) sont des vecteurs propres de \(P(A)\).
On calcule \(M^2\). On trouve :
\(M^2=\left(\begin{array}{ccc}0&1&0\\0&0&1\\1&0&0\end{array}\right)\),
donc \(N=aI_3+bM+cM^2\), où \(I_3\) est la matrice unité d'ordre \(3\).
D'où \(N=Q(M)\), avec \(Q(X)=a+bX+cX^2\).
Pour connaître les valeurs propres de \(N\), on commence par chercher les valeurs propres de \(M\).
Pour connaître les valeurs propres de \(M\), on calcule son polynôme caractéristique \(\textrm{det}(M-XI_3)\). On trouve :
\(P_{\textrm{car},M}(X)=-(X^3-1)\)
Les valeurs propres de \(M\) sont donc \(1\), \(\displaystyle{j=\textrm{exp}\left(\frac{2i\pi}{3}\right)}\) et \(\displaystyle{j^2=\textrm{exp}\left(\frac{4i\pi}{3}\right)}\).
La matrice \(M\) d'ordre \(3\) a trois valeurs propres distinctes, donc \(M\) est diagonalisable :
L'espace vectoriel \(M_{3,1}(\mathbb C)\) admet une base de vecteurs propres de \(M\). D'après la question 1. , ces vecteurs propres sont aussi des vecteurs propres de \(N\) donc \(N\) est aussi diagonalisable, et ses valeurs propres sont \(Q(1), Q(j)\) et \(Q(j^2)\).
Comme \(j^3=1\), les valeurs propres de \(N\) sont :
\(a+b+c, a+bj+cj^2, a+bj^2+cj\).
Comme \(N\) est semblable à une matrice diagonale \(D\), son déterminant est égal au produit des éléments de la diagonale de \(D\), qui sont les valeurs propres de \(N\).
On en déduit : \(\textrm{det }N=(a+b+c)(a+bj+cj^2)(a+bj^2+cj)\) où \(\displaystyle{j=\textrm{exp}\left(\frac{2i\pi}{3}\right)}\).
On procède de même pour \(A\) et \(B\). On trouve :
\(A^2=\left(\begin{array}{cccc}0&0&1&0\\0&0&0&1\\1&0&0&0\\0&1&0&0\end{array}\right)\), \(A^3=\left(\begin{array}{cccc}0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\\1&0&0&0\end{array}\right)\),
et donc \(B=aI_4+bA+cA^2+dA^3\).
Le polynôme caractéristique de \(A\) est \(X^4-1\), donc la matrice \(A\) a quatre valeurs propres distinctes qui sont \(1, -1, i\) et \(–i\), où \(i\) est le nombre complexe vérifiant \(i^2=-1\).
Et pour les mêmes raisons que celles données à la question 3. , les matrices \(A\) et \(B\) sont diagonalisables, et les valeurs propres de \(B\) sont :
\(a+b+c+d, a-b+c-d, a+bi-c-di, a-bi-c+di\)