Définition d'un polynôme annulateur d'un endomorphisme
Définition : Polynôme annulateur d'un endomorphisme

Soit une application linéaire de dans lui-même.

On appelle polynôme annulateur de un polynôme non nul appartenant à tel que .

Autrement dit, si est un polynôme annulateur de , il est non nul et , ce qui équivaut à :

Exemple

Soit un endomorphisme de tel que ( est une symétrie). Alors le polynôme est un polynôme annulateur de . Le polynôme est aussi un polynôme annulateur de .

En effet, , puisque .

D'après cette définition, si est une application linéaire de dans lui-même, est un polynôme annulateur de si et seulement si est non nul et , donc si et seulement si est non nul et appartient au noyau de .

L'étude de ce noyau permet donc de connaître la structure de l'ensemble des polynômes annulateurs d'un endomorphisme . Dans toute la suite ce noyau est noté .

Avant d'énoncer et de démontrer le théorème qui donne ces propriétés, il peut être utile de revoir la notion d'idéal et la structure des idéaux de .

Rappel : notion d'idéal
Légende :
Apprendre
S'évaluer
S'exercer
Observer
Simuler
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