Définition

Soit une application linéaire de dans lui-même. L'étude de , noyau de , conduit au théorème définition suivant :

Théorème : Définition : polynôme minimal d'un endomorphisme

Soit un espace vectoriel de type fini et un endomorphisme de . L'ensemble , noyau de , vérifie les propriétés suivantes :

  1. Ann est un idéal de , non réduit à .

  2. Il existe un unique polynôme unitaire tel que tout polynôme annulateur de soit un multiple de ce polynôme.

    Ce polynôme est appelé le polynôme minimal de et est noté .

    Ceci peut être écrit sous la forme :

    Ann

Preuve : Preuve de la propriété 1.

On a déjà remarqué que est une application linéaire de dans . Donc son noyau est un sous-espace vectoriel de , en particulier il est non vide et stable pour la soustraction.

De plus, si est un élément de Ann et un élément quelconque de , car .

Donc appartient à Ann .

Donc Ann est un idéal de .

Remarque

Pour les étudiants connaissant la théorie des anneaux, ce résultat est immédiat puisque est un morphisme d'anneau ; en effet le noyau d'un morphisme d'anneau est un idéal de l'anneau de départ.

Preuve

Il reste à montrer que Ann n'est pas réduit au polynôme nul.

C'est là qu'intervient fondamentalement l'hypothèse faite sur d'être de type fini.

Soit la dimension de . L'espace vectoriel est alors un espace vectoriel de type fini dont la dimension est .

Or, la famille comprend éléments de , donc elle n'est pas libre et sont linéairement dépendants.

Il existe donc éléments de , non tous nuls, tels que .

Le polynôme est donc un polynôme annulateur de , donc est un élément de Ann et il n'est pas nul car est différent de .

Preuve : Preuve de la propriété 2 : l'existence d'un polynôme P satisfaisant au problème

Soit l'ensemble des degrés des polynômes non nuls éléments de Ann , c'est-à-dire l'ensemble des entiers tels qu'il existe Ann , non nul, avec deg . Comme l'idéal Ann , n'est pas réduit à est une partie non vide de , donc possède un plus petit élément noté .

On a donc les deux propriétés :

Soit un élément quelconque de Ann ; en faisant la division euclidienne de par on obtient :

, avec ou deg

Comme Ann est un idéal de est un élément de Ann , ( Ann et et par conséquent le polynôme est aussi élément de .

  • , d'après la définition de , on a l'inégalité : deg .

    On a donc une contradiction, puisque d'après la propriété de la division euclidienne on a deg .

  • L'hypothèse est donc absurde et on a .

    Alors . Ceci prouve l'inclusion Ann .

    L'autre inclusion est immédiate, car appartient à Ann .

Remarque

Le rôle joué par la division euclidienne dans cette démonstration est fondamental.

Preuve : Preuve de la propriété 2 : l'unicité d'un polynôme unitaire satisfaisant au problème

Si est tel que Ann , pour toute constante non nulle appartenant à , le polynôme engendre Ann (i.e. Ann .

Soit un autre polynôme tel que Ann ). Alors .

Donc il existe tel que . Et il existe tel que .

Tous les polynômes tels que Ann s'obtiennent donc les uns à partir des autres par multiplication par une constante non nulle ; donc s'ils sont unitaires, ils sont égaux.

On en déduit immédiatement l'existence et l'unicité d'un polynôme unitaire engendrant Ann .

Remarque

La propriété qui vient d'être démontrée est un résultat général des idéaux de l'anneau .

Théorème : caractérisation des idéaux de K[X]

Pour tout idéal de , il existe un polynôme tel que soit égal à l'ensemble des multiples de . Ce qui peut s'écrire :

On dit que est engendré par . Si n'est pas réduit au polynôme nul, est non nul. Si, de plus, on impose à d'être unitaire, il est unique.

Vocabulaire :

Un idéal engendré par un élément est appelé un idéal principal.

Il résulte du théorème que tous les idéaux de sont principaux.

Un anneau intègre dont tous les idéaux sont principaux est appelé un anneau principal. Donc, est un anneau principal.

Remarque : Important

Il résulte de la construction du polynôme minimal que nous venons de faire que le polynôme minimal de est le polynôme unitaire annulateur de de plus bas degré. Cette remarque est souvent utile dans la pratique pour trouver explicitement le polynôme minimal d'un endomorphisme.

Remarque : Autres remarques
  1. Donc dans toute la suite on suppose que est différent de .

  2. Si est différent de si et seulement si .

Légende :
Apprendre
S'évaluer
S'exercer
Observer
Simuler
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