Exemples
Exemple

Soit un espace vectoriel réel de dimension et une base de .

  • On considère l'endomorphisme de défini par .

    Il est alors immédiat que et par conséquent . Le polynôme est donc un polynôme annulateur de ; c'est donc un multiple du polynôme minimal de . Les diviseurs de sont et . L'espace considéré n'est pas , donc cela exclut , l'endomorphisme n'est pas nul donc n'est pas un polynôme annulateur de . Par conséquent il reste et donc .

  • On considère l'endomorphisme de défini par .

    Il est alors immédiat que et par conséquent , soit .

    Alors le polynôme est un polynôme annulateur de . Comme il est irréductible sur , il n'a pas de diviseur et c'est le polynôme minimal de donc .

  • On considère l'endomorphisme de défini par .

    Il est alors immédiat que et par conséquent , soit .

    Alors le polynôme est un polynôme annulateur de , donc le polynôme minimal de est un diviseur de . Cela peut donc être ou . Or, ni ni ne sont des polynômes annulateurs de puisque est différent de et de . Donc le polynôme minimal de est .

Exemple

Soit un entier supérieur ou égal à l'espace vectoriel :

ou deg

Remarque : Remarque sur la notation

Si l'espace vectoriel considéré est l'espace vectoriel des polynômes à coefficients dans , ou l'un de ses sous-espaces, les polynômes vont intervenir dans deux rôles différents : comme vecteurs et comme polynômes annulateurs. Pour éviter les confusions, l'indéterminée est notée pour les polynômes lorsqu'ils sont considérés comme des vecteurs.

On sait que est de dimension . Soit l'endomorphisme de défini par ,

polynôme dérivé du polynôme .

Démonstration

Une démonstration par récurrence prouve immédiatement que :

  • pour tout entier ,

  • pour tout , et pour tout   .

Alors on a

et

Cela prouve que et (puisque par exemple ).

Donc est un polynôme annulateur de et n'en est pas un.

Donc .

Remarque

On voit le rôle tout à fait fondamental joué par le fait que est de type fini dans la démonstration de l'existence. Lorsque ce n'est pas le cas, tout peut se produire comme le prouvent les deux exemples suivants :

Soit ou . Soient et les endomorphismes de définis respectivement par et .

Alors Ann et Ann , plus précisément .

Preuve des résultats des deux exemples
Légende :
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S'exercer
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