Définition
Théorème : Polynôme annulateur de la restriction d'un endomorphisme à une partie "grand omega" d'un espace vectoriel
Soit \(E\) un espace vectoriel de type fini, \(\Omega\) une partie non vide de \(E\) et \(f\) une application linéaire de \(E\) dans lui-même.
On appelle polynôme annulateur de la restriction de \(f\) à \(\Omega\), un polynôme \(P\) non nul appartenant à \(\mathbf K[X]\) tel que :
\(\forall x\in\Omega,(P(f))(x)=0\)
Alors,
L'ensemble des polynômes annulateurs de la restriction de \(f\) à \(\Omega\) est non réduit à \(0\).
L'ensemble des polynômes annulateurs de la restriction de \(f\) à \(\Omega\) est un idéal de \(\mathbf K[X]\).
Il existe un unique polynôme unitaire tel que tout polynôme annulateur de la restriction de \(f\) à \(\Omega\) soit un multiple de ce polynôme.
Ce polynôme est appelé le polynôme minimal de \(\Omega\) relativement à \(f\) et est noté \(P_{\textrm{min},f,\Omega}\) .
Cela signifie que si \(P\) est un polynôme annulateur de la restriction de \(f\) à \(\Omega\), il existe un polynôme \(Q\) appartenant à \(\mathbf K[X]\) tel que \(P=QP_{\textrm{min},f,\Omega}\).
Remarque :
Aucune hypothèse n'est nécessaire sur la partie non vide \(\Omega\). En particulier elle peut ne pas être stable par \(f\) (et c'est le cas le plus intéressant car le plus courant).
Avec cette notation on a : \(P_{\textrm{min},f,E}=P_{\textrm{min},f}\).
Lorsqu'il n'y a aucune ambiguïté, on dit que \(P_{\textrm{min},f,\Omega}\) est le polynôme minimal de \(\Omega\).
Preuve : Preuve du théorème
Il est immédiat que le polynôme minimal de \(f\) est un polynôme annulateur de la restriction de \(f\) à \(\Omega\), ce qui prouve le 1.).
Pour démontrer le 2. et le 3. la démarche est la même que pour démontrer l'existence du polynôme minimal de \(f\). On prouve que l'ensemble des polynômes annulateurs de la restriction de \(f\) à \(\Omega\) est un idéal de \(\mathbf K[X]\) et on utilise le fait que tous les idéaux de \(\mathbf K[X]\) sont principaux. Alors \(P_{\textrm{min},f,\Omega}\) est l'unique générateur unitaire de cet idéal.
Cela prouve en outre que \(P_{\textrm{min},f,\Omega}\) est le polynôme unitaire annulateur de la restriction de \(f\) à \(\Omega\), de plus bas degré.
Corollaire :
Soit \(E\) un espace vectoriel de type fini et \(f\) une application linéaire de \(E\) dans lui-même. Alors pour toute partie non vide \(\Omega\) de \(E\), le polynôme minimal de la restriction de \(f\) à \(\Omega\) divise le polynôme minimal de \(f\), c'est-à-dire :
\(\forall\Omega\in\wp(E),\exists Q_\Omega\in\mathbf K[X],P_{\textrm{min},f}=Q_\Omega P_{\textrm{min},f,\Omega}\)
En particulier, il s'en suit que pour toute partie non vide \(\Omega\) de \(E\), le degré du polynôme minimal de la restriction de \(f\) à \(\Omega\) est inférieur ou égal au degré du polynôme minimal.