Propriétés

Les propriétés du polynôme minimal d'une partie relativement à un endomorphisme sont données par la proposition suivante :

Proposition : Propriétés du polynôme minimal d'une partie relativement à un endomorphisme

Soit un espace vectoriel de type fini et une application linéaire de dans lui-même.

  1. Soient deux parties non vides et de telles que . Alors divise .

  2. Soit une partie non vide de et Vect le sous espace vectoriel de engendré par . Alors .

  3. Soient deux parties non vides et de , alors .

  4. Soient deux parties non vides et de , alors divise .

Démonstration : Preuve de la propriété 1.

D'après la définition de , on a : .

Comme la partie est incluse dans la partie on a en particulier :

.

Donc est un polynôme annulateur de . D'après le théorème définition, il en résulte que divise .

Démonstration : Preuve de la propriété 2.

D'une part, comme est contenue dans Vect divise d'après le résultat du 1.

D'autre part un élément de Vect( ) est une combinaison linéaire d'éléments de . Donc, si est un endomorphisme de tel que pour tout de on ait , alors on a : .

En appliquant ce résultat ici, il vient : . Le polynôme est donc un polynôme annulateur de Vect( ) et par conséquent c'est un multiple de .

Comme de plus, les polynômes et sont unitaires, ils sont égaux.

Démonstration : Preuve de la propriété 3.

D'une part, comme et , le résultat de la question 1. prouve que et divisent .

Donc le PPCM de et divise .

D'autre part, si , il existe un polynôme tel que et un polynôme tel que .

D'où : .

De la même façon . Donc . Donc le polynôme est un polynôme annulateur de .

Par conséquent est un multiple de . Comme ces deux polynômes unitaires sont multiples l'un de l'autre, ils sont égaux.

Démonstration : Preuve de la propriété 4.

Les inclusions et et le résultat du 1., prouve que divise et , et donc divise leur PGCD.

L'exemple suivant prouve que peut être différent de ce PGCD.

Exemple

soit et l'endomorphisme de dont la matrice dans la base canonique est égale à .

L'observation de la matrice prouve que la seule valeur propre est 1 ; par conséquent, le polynôme minimal qui est scindé, puisque appartenant à , est de la forme avec supérieur ou égal à .

On considère et . Alors .

Comme , le polynôme minimal de est .

Cherchons le polynôme minimal de . Pour cela, cherchons le polynôme minimal de . On a , vecteur non colinéaire à , donc et sont linéairement indépendants et il n'existe pas de polynôme annulateur de de degré inférieur ou égal à . Calculons . Cela donne et donc ; le polynôme est donc le polynôme minimal annulateur de .

Par conséquent est le polynôme minimal de .

Cherchons le polynôme minimal de . Pour cela il faut étudier le polynôme minimal de .

Le polynôme minimal de divise le polynôme minimal de , il est de la forme avec .

On a , qui est différent de . Donc n'est pas un polynôme annulateur de . Calculons . Cela donne .

Les vecteurs sont linéairement indépendants (leur déterminant dans la base canonique est non nul car ).

Donc est de la forme avec Donc le polynôme minimal de qui est le PPCM de et de est égal à avec .

Par conséquent PGCD et le polynôme minimal de l'intersection, , divise strictement le PGCD de et .

Cas particulier : cas d'un singleton
Légende :
Apprendre
S'évaluer
S'exercer
Observer
Simuler
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