Théorème de Cayley-Hamilton

1. Le polynôme caractéristique et le polynôme minimal d'un endomorphisme d'un espace vectoriel de type fini ont les mêmes facteurs irréductibles.

   Plus précisément, si \(\displaystyle{P_{\textrm{car},f}(X)=(-1)^{\textrm{dim}E}\prod_{i=1}^{i=r}(P_i(X))^{n'_i}}\) est la décomposition de \(P_{\textrm{car},f}\) en facteurs irréductibles unitaires, \(\displaystyle{P_{\textrm{min},f}(X)=\prod_{i=1}^{i=r}(P_i(X))^{n_i}}\) est celle du polynôme minimal, avec les inégalités : \(1\leq n_i\leq n_i^r\)

2. Le polynôme \(P_{\textrm{car},f}(X)\) divise le polynôme \([P_{\textrm{car},f}(X)]^{\textrm{dim}E}\).

On procède par récurrence pour \(k\ge 2\).

• Cas où : \(k=2\)

  On a donc \(P=P_1P_2\) avec \(P_1,P_2\) premiers entre eux. On peut donc appliquer le théorème de Bézout. Il existe donc deux polynômes \(Q_1\) et \(Q_2\) tels que \(P_1Q_1+P_2Q_2=1\). D'où :

  \(P_1(f)\bigcirc Q_1(f)+P_2(f)\bigcirc Q_2(f)=Id_E\)

  donc pour tout \(x\) de \(E\) et en particulier pour tout élément \(x\) de \(\textrm{Ker}P(f)\) on a : \(x=[P_1(f)\bigcirc Q_1(f)](x)+[P_2(f)\bigcirc Q_2(f)](x)\).

  Soient \(x_1=[P_1(f)\bigcirc Q_1(f)](x)\) et \(x_2=[P_2(f)\bigcirc Q_2(f)](x)\). Alors \(x=x_1+x_2\). Considérons \(P_2(f)(x_1)=P_2(f)[P_1(f)\bigcirc Q_1(f)](x)=Q_1(f)\bigcirc P(f)(x)=0\), puisque \(x\) appartient au noyau de \(P(f)\).

  D'où \(P_2(f)(x_1)=0\) et par conséquent \(x_1\) appartient à \(\textrm{Ker}P_2(f)\). De la même façon on démontre que \(x_2\) appartient à \(\textrm{Ker}P_1(f)\). Donc on a \(\textrm{Ker}P(f)=\textrm{Ker}P_1(f)+\textrm{Ker}P_2(f)\). Cette somme est directe.

  En effet si \(x\) appartient à \(\textrm{Ker}P_1(f)\cap\textrm{Ker}P_2(f)\) alors \(x\) vérifie : \(\textrm{Ker}P_1(f)(x)=\textrm{Ker}P_2(f)(x)=0\). Or \(x=Q_1(f)(P_1(f)(x))+Q_2(f)(P_2(f)(x))\) (ne pas oublier que les endomorphismes de la forme \(P(f)\) commutent entre eux) d'où \(x=0\) et \(\textrm{Ker}P(f)=\textrm{Ker}P_1(f)+\textrm{Ker}P_2(f)\).

• Supposons le résultat vrai pour \(k\) et montrons le pour \(k+1\)

  On a \(P=R_1R_2\) avec \(R_1=P_1\cdots P_k\) et \(R_2=P_{k+1}\). Les polynômes \(R_1\) et \(R_2\) sont premiers entre eux (théorème de Gauss) et par conséquent d'après le cas \(k=2\), on a \(\textrm{Ker}P(f)=\textrm{Ker}R_1(f)\oplus\textrm{Ker}R_2(f)\).

  En utilisant l'hypothèse de récurrence, cela donne

  \(\textrm{Ker}P(f)=\textrm{Ker}P_1(f)\oplus\textrm{Ker}P_k(f)\oplus\textrm{Ker}P_{k+1}(f)\)

  Il faut noter que \(E\) est un espace quelconque que l'on n'a pas supposé de type fini.

Soit E un espace vectoriel et \(f\) un endomorphisme de \(E\).

Soit \(P\) un polynôme annulateur de \(f\) ; on suppose que \(P=P_1P_2\cdots P_k\) avec \(P_1,P_2,\cdots,P_k\) polynômes premiers entre eux deux à deux. Pour tout \(i\) compris entre \(1\) et \(k\), on note \(E_i=\textrm{Ker}P_i(f)\) . Alors

1. \(E\) est somme directe des sous-espaces \(E_i\), autrement dit

   \(E=E_1\oplus E_2\oplus\cdots\oplus E_k\)

2. Pour tout \(i\) compris entre \(1\) et \(k\), le sous-espace \(E_i\) est stable par \(f\).

Soit \(\displaystyle{P_{\textrm{car},f}(X)=(-1)^n\prod_{i=1}^{i=r}(P_i(X))^{n'_i}}\) la décomposition en facteurs irréductibles unitaires du polynôme caractéristique. C'est un polynôme annulateur de \(f\) d'après le théorème de Cayley Hamilton, donc, d'après le lemme des noyaux on a

\(E=\textrm{Ker}(P_1(f))^{n'_1}\oplus\textrm{Ker}(P_2(f))^{n'_2}\oplus\cdots\oplus\textrm{Ker}(P_r(f))^{n'_r}\)

Il suit des résultats que nous venons de rappeler qu'alors \(P_{\textrm{min},f}(X)=\textrm{PPCM}(P_{\textrm{min},f_i}(X))\)

où \(f_i\) est la restriction de \(f\) à \(\textrm{Ker}(P_i(f))^{n'_i}\) .

Or, si \(v\) est un élément quelconque de \(\textrm{Ker}(P_i(f))^{n'_i}\), on a \((P_i(f))^{n'_i}(v)=0\) et donc \((P_i(f_i))^{n'_i}(v)=0\). D'où \((P_i(X))^{n'_i}\) est un polynôme annulateur de \(f_i\) et par conséquent le polynôme minimal de \(f_i\) est un diviseur de \((P_i(X))^{n'_i}\). Comme le polynôme \(P_i(X)\) est irréductible, les seuls polynômes qui divisent \((P_i(X))^{n'_i}\) sont les puissances de \(P_i(X)\) et par conséquent il existe un entier \(n_i\) tel que \(1\leq n_i\leq n'_i\) et \(P_{\textrm{min},f_i}(X)=(P_i(X))^{n_i}\). D'où la formule pour le polynôme minimal de \(f\).

Cela résulte des formules \(\displaystyle{P_{\textrm{min},f}(X)=\prod_{i=1}^{i=r}(P_i(X))^{n_i}}\) et

\(\displaystyle{P_{\textrm{car},f}(X)=(-1)^{\textrm{dim}E}\prod_{i=1}^{i=r}(P_i(X))^{n'_i}}\), et du fait que le degré du polynôme caractéristique est égal à la dimension de l'espace ce qui donne la formule : \(\displaystyle{\sum_{i=1}^{i=k}n'_i=\textrm{dim}E}\).