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Relations entre la décomposition en facteurs irréductibles du polynôme minimal et celle du polynôme caractéristique

Plusieurs résultats ont déjà été démontrés :

  • Le polynôme minimal a les mêmes racines que le polynôme caractéristique.

  • Le polynôme minimal divise le polynôme caractéristique.

Le théorème suivant va donner une relation plus précise entre le polynôme minimal et le polynôme caractéristique.

Théorème : Facteurs irréductibles du polynôme minimal et du polynôme caractéristique
  1. Le polynôme caractéristique et le polynôme minimal d'un endomorphisme d'un espace vectoriel de type fini ont les mêmes facteurs irréductibles.

    Plus précisément, si est la décomposition de en facteurs irréductibles unitaires, est celle du polynôme minimal, avec les inégalités :

  2. Le polynôme divise le polynôme .

En fait dans un corps algébriquement clos par exemple dans , le résultat 1. se déduit immédiatement des deux propriétés que nous venons de rappeler, mais dans le cas d'un corps non algébriquement clos par exemple , il apporte une propriété supplémentaire qui donnera des résultats intéressants dans le cas des endomorphismes non diagonalisables.

La démonstration nécessite les propriétés suivantes concernant les polynômes annulateurs et plus précisément le polynôme minimal.

Rappel : Expression du polynôme minimal lorsque l'espace vectoriel est somme directe de sous-espaces stables

Soit un espace vectoriel de type fini et un endomorphisme de . On suppose que où les sont des sous-espaces vectoriels de , stables par . On note, pour tout la restriction de à .

Alors

Elle nécessite aussi le Lemme des noyaux et son corollaire.

Rappel : Lemme des noyaux

Soit un -espace vectoriel et un endomorphisme de .

Soit un polynôme à coefficients dans ; on suppose que avec polynômes premiers entre eux deux à deux. Alors

Démonstration : Démonstration du lemme des noyaux

On procède par récurrence pour .

  • Cas où :

    On a donc avec premiers entre eux. On peut donc appliquer le théorème de Bézout. Il existe donc deux polynômes et tels que . D'où :

    donc pour tout de et en particulier pour tout élément de on a : .

    Soient et . Alors . Considérons , puisque appartient au noyau de .

    D'où et par conséquent appartient à . De la même façon on démontre que appartient à . Donc on a . Cette somme est directe.

    En effet si appartient à alors vérifie : . Or (ne pas oublier que les endomorphismes de la forme commutent entre eux) d'où et .

  • Supposons le résultat vrai pour et montrons le pour

    On a avec et . Les polynômes et sont premiers entre eux (théorème de Gauss) et par conséquent d'après le cas , on a .

    En utilisant l'hypothèse de récurrence, cela donne

    Il faut noter que est un espace quelconque que l'on n'a pas supposé de type fini.

Corollaire : Corollaire du lemme des noyaux : polynôme annulateur et décomposition en somme directe de sous-espaces stables

Soit E un espace vectoriel et un endomorphisme de .

Soit un polynôme annulateur de ; on suppose que avec polynômes premiers entre eux deux à deux. Pour tout compris entre et , on note . Alors

  1. est somme directe des sous-espaces , autrement dit

  2. Pour tout compris entre et , le sous-espace est stable par .

Preuve : Preuve de la conclusion (1) du théorème

Soit la décomposition en facteurs irréductibles unitaires du polynôme caractéristique. C'est un polynôme annulateur de d'après le théorème de Cayley Hamilton, donc, d'après le lemme des noyaux on a

Il suit des résultats que nous venons de rappeler qu'alors

est la restriction de à .

Or, si est un élément quelconque de , on a et donc . D'où est un polynôme annulateur de et par conséquent le polynôme minimal de est un diviseur de . Comme le polynôme est irréductible, les seuls polynômes qui divisent sont les puissances de et par conséquent il existe un entier tel que et . D'où la formule pour le polynôme minimal de .

Preuve : Preuve de la conclusion 2) du théorème

Cela résulte des formules et

, et du fait que le degré du polynôme caractéristique est égal à la dimension de l'espace ce qui donne la formule : .

Légende :
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