Théorème de Cayley-Hamilton

Cette ressource contient quatre exercices guidés.

Le premier illustre la simplification qu'entraîne le théorème de Cayley-Hamilton dans le calcul de polynômes de matrices.

Dans le deuxième on recherche le polynôme minimal d'une matrice à paramètre.

Dans le troisième on calcule une puissance \(n^{\textrm{ième}}\) de matrice.

Dans le quatrième il s'agit de construire une matrice vérifiant une relation.

• Prérequis indispensables :

  • Le calcul matriciel.

  • La théorie générale de la diagonalisation.

  • La division euclidienne des polynômes.

  • Le théorème de Cayley-Hamilton.

  • Le théorème sur les facteurs irréductibles du polynôme caractéristique et du polynôme minimal.

  • Le théorème : puissance d'une matrice et polynôme annulateur.

• Objectifs :

  • Trouver le polynôme minimal à partir du polynôme caractéristique et réciproquement.

  • Calculer une puissance de matrice en utilisant un polynôme annulateur bien choisi.

Temps de travail prévu : 70 minutes