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Séries commutativement convergentes
Définition

On dit qu'une série de terme général est commutativement convergente si, pour toute bijection de sur , la série de terme général est convergente.

Théorème

Pour qu'une série soit commutativement convergente, il faut et il suffit qu'elle soit absolument convergente. La somme alors ne change pas quand on change l'ordre des termes.

Nous admettons ce théorème dont la preuve est difficile.

En revanche, pour une série non absolument convergente, on peut réordonner les termes de la suite de manière à obtenir une série divergente ou encore une série de somme arbitraire. C'est le cas pour la série harmonique alternée. (On le verra en exercice).

On peut aussi signaler le théorème suivant qui ne suppose pas l'absolue convergence et qui exprime que, dans une série convergente, on peut faire des sommations par “paquets” qui ne changent pas la nature de la série.

Théorème

Soit une série convergente. Si l'on considère une application strictement croissante de dans et si pour tout entier naturel on pose , la série est convergente et l'on a : .

Légende :
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