Mathématiques
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Introduction

Nous avons vu au paragraphe précédent que les séries absolument convergentes ont des propriétés que n'ont pas les séries semi-convergentes. Aussi, quand on étudie une série à termes de signe quelconque, il est indispensable d'étudier d'abord la série des valeurs absolues .

Si la série est convergente alors la série est absolument convergente et donc convergente.

Si la série est divergente alors, si on a déduit la divergence de la série en la comparant à une série géométrique (règle de d'Alembert ou de Cauchy), le terme général ne tend pas vers 0 et la série est divergente. En revanche, si on a étudié la série en la comparant à une série de Riemann, alors l'étude n'est pas terminée et il faut voir s'il est possible d'utiliser, pour la série , un des critères concernant les séries semi-convergentes que nous allons maintenant démontrer. On remarquera qu'ils donnent une condition suffisante de convergence et que leur domaine d'application est a priori très limité. En fait leur usage est plus fréquent qu'on pourrait le penser : ainsi le théorème d'Abel est très utile dans l'étude des séries de Fourier.

Légende :
Apprendre
S'évaluer
S'exercer
Observer
Simuler
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