Mathématiques
Précédent
Suivant
Théorème d'Abel

Théoriquement un peu plus général que le théorème des séries alternées, le théorème d'Abel est utilisé surtout pour des séries dont le terme général est de la forme , , , et en conséquence pour les séries à termes complexes . En effet, les sommes partielles des séries de terme général , , sont respectivement les parties réelles et imaginaires des sommes partielles de la série de terme général .

Théorème

On considère une série dont le terme général s'écrit . On pose et on suppose vérifiées les propriétés suivantes :

(i) la suite est bornée,

(ii) la suite est une suite décroissante de nombres positifs telle que .

Alors la série de terme général est convergente.

Preuve

Elle repose sur le critère de Cauchy, et utilise la “transformation d'Abel”, méthode qui se révèle efficace pour établir certaines majorations.

On pose pour . On fait intervenir la suite et on écrit :

soit encore,

.

On note un majorant de la suite . On a donc : .

On a donc, en utilisant l'inégalité triangulaire et, compte tenu que tous les termes sont positifs :

.

On a donc pour une majoration indépendante de , par une suite qui tend vers 0. La série satisfait donc au critère de Cauchy. Elle est convergente.

Exemple
  1. En prenant , on retrouve le théorème des séries alternées.

  2. Soit la suite définie par . On a, si (i.e ) : . D'où : .

    Pour , la suite est bornée.

    Les séries dont le terme général s'écrit sous la forme , où la suite est une suite de nombres positifs, décroissante et telle que , sont convergentes. C'est le cas des séries de terme général : , , , .

    Il est bien évident que, dans les cas où s est strictement supérieur à 1, les séries correspondantes sont absolument convergentes : on n'utilise alors pas le théorème d'Abel pour montrer la convergence de la série.

Légende :
Apprendre
S'évaluer
S'exercer
Observer
Simuler
Réalisé avec Scenari (nouvelle fenêtre)