On considère la série entière définie par la suite de ses coefficients : .

Déterminer le rayon de convergence .

Justifier.

On considère la série entière définie par la suite de ses coefficients :

Déterminer le rayon de convergence .

Justifier.

On considère la série entière définie par la suite de ses coefficients :

.

Déterminer le rayon de convergence .

Justifier.

On considère la série entière définie par la suite de ses coefficients :

si n est un carré, , sinon.

Déterminer le rayon de convergence .

Justifier.

Soit une série entière dont le rayon de convergence est non nul. Montrer que la série entière a un rayon de convergence infini.

Vous allez maintenant comparer vos réponses avec celles qui vous sont proposées.

Pour chaque question, vous vous noterez en fonction de la note maximum indiquée en tenant compte des indications éventuelles de barème.

A la fin du test un bilan de votre travail vous est proposé. Il apparaît entre autres une note liée au test appelée "seuil critique". Il s'agit de la note minimum qu'il nous paraît nécessaire que vous obteniez sur l'ensemble du test pour considérer que globalement vous avez assimilé le thème du test et que vous pouvez passer à la suite.

On a la double inégalité : , .

On en déduit : d'où et .

On peut écrire également : , .

Par application du théorème de comparaison, on obtient .

Pour tout entier strictement positif, on a . On peut donc écrire :

, d'où .

Et donc

Pour tout entier strictement positif, on a . On écrit : ,

D'où .

On a donc : .

En écrivant les développements limités de et de , on obtient :

et donc .

On a donc finalement : .

Par suite .

On pose : . On écrit : .

On en déduit si , si .

D'où .

Il existe un nombre complexe non nul tel que la série est convergente.

La suite est donc bornée et il existe un réel tel que : , .

On en déduit : , .

La série est donc absolument convergente pour tout : le rayon de convergence est infini.

Erreur à ne pas commettre : ce n'est pas parce qu'une série entière a un rayon de convergence non nul que le rapport a une limite !!! ni même qu'il existe.