Question 2

Durée : 3 mn

Note maximale : 3

Question

On considère la série entière \(\sum a_nz^n\) définie par la suite \((a_n)\) de ses coefficients : \(a_n=\frac{n!}{2^{2n}\sqrt{(2n)!}}(n\geq 1)\)

Déterminer le rayon de convergence \(R\).

Justifier.

Solution

Pour tout entier \(n\) strictement positif, on a \(a_n >0\). On peut donc écrire : \(\frac{a_{n+1}}{a_n}=\frac{n+1}{4\sqrt{(2n+1)(2n+2)}}\sim\frac 18 (n\rightarrow +\infty)\)

, d'où \(\displaystyle\lim_{n\rightarrow+\infty}\frac{a_{n+1}}{a_n}=\frac18\).

Et donc \(R=8\)