Question 4
Durée : 4 mn
Note maximale : 4
Question
On considère la série entière \(\sum a_nz^n\) définie par la suite \((a_n)\) de ses coefficients :
\(a_n=1\) si n est un carré, \(n=k^2 (k \textrm{ entier})\), \(a_n=0\) sinon.
Déterminer le rayon de convergence \(R\).
Justifier.
Solution
On pose : \(u_n(z)=z^{n^2}\). On écrit : \(|u_n(z)|^{\frac1n}=|z|^n\).
On en déduit \(\displaystyle\lim_{n\rightarrow +\infty}|u_n(z)|^{\frac1n}=+\infty\) si \(|z|>1\), \(\displaystyle\lim_{n\rightarrow +\infty}|u_n(z)|^{\frac1n}=0\) si \(|z|<1\).
D'où \(R=1\).