Exponentielle complexe

Pour tout \(z\) appartenant à \(C\), on a : \(e^z-1=\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{z^n}{n!}\).

On en déduit : \(|e^x-1|=\left|\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{z^n}{n!}\right|\leq\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{|z|^n}{n!}=e^{|z|}-1\) et donc \(|e^x-1|\leq e^{|z|}-1\).

De plus les inégalités suivantes \(e^{|z|}-1=|z|\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{|z|^n}{(n+1)!}\leq |z|\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{|z|^n}{n!}=|z|e^{|z|}\) entraînent \(e^{|z|}-1\leq |z|e^{|z|}\).