Exponentielle complexe

Pour tout \(z\) appartenant à C, on écrit : \(1-\sin^3z-\cos^3z=\sin^2z-\sin^3z+\cos^2z-\cos^3z\).

D'où \(1-\sin^3z-\cos^3z=(1-cos^2z)(1-\sin{z})+(1-sin^2z)(1-\cos{z})\), soit encore \(1-sin^3z-cos^3z=(1-\cos{z})(1-\sin{z})(2+\sin{z}+\cos{z})\).

Les solutions de l'équation sont les nombres complexes vérifiant : \(\cos{z}=1\) ou \(\sin{z}=1\) ou \(2+\sin{z}+\cos{z}=0\).

Les solutions de l'équation \(\cos{z}=1\) s'écrivent \(z=2k\pi\) \((k\in Z)\).

Les solutions de l'équation \(\sin{z}=1\) s'écrivent \(z=\frac \pi2 +2k\pi\) \((k\in Z)\).

Résolution de l'équation \(2+\sin{z}+\cos{z}=0\).

L'équation \(2+\sin{z}+\cos{z}=0\) s'écrit encore : \(\sin\left(z+\frac\pi4\right)=-\sqrt{2}\).

On pose alors : \(Z=z+\frac\pi4\). L'équation devient \(\frac{e^{iz}-e^{-iz}}{2i}=-\sqrt{2}\), soit en posant \(e^{iz}=u\), \(u^2+2\sqrt{2}iu-1=0\)

dont les solutions sont \(u=i(1-\sqrt{2})\) et \(u=-i(1+\sqrt{2})\).

On résout l'équation en \(Z\) : \(e^{iz}=i(1-\sqrt{2})\).

On obtient \(iZ=\ln{(\sqrt{2}-1)}-\frac{i\pi}{2}+2ki\pi\) \((k\in Z)\), d'où \(Z=-i\ln{(\sqrt{2}-1)}-\frac\pi2+2k\pi\) \((k\in Z)\).

On en déduit : \(z=-\frac{3\pi}{4}+2k\pi-i\ln{(\sqrt{2}-1)}\).

L'ensemble des solutions de l'équation est donc l'ensemble :

\(2\pi Z\cup\left\{\frac\pi2+2k\pi, k\in Z\right\}\cup\left\{-\frac{3\pi}{4}-i\ln{(\sqrt{2}+1)}+2k\pi, k\in Z\right\}\cup\left\{-\frac{3\pi}{4}-i\ln{(\sqrt{2}-1)}+2k\pi, k\in Z\right\}\)