Exercice 2
Partie
Question
Résoudre, dans C, les équations suivantes :
1. .\(e^z=-2\)
Solution détaillée
On écrit : \(-2=2e^{iz}\). L'équation devient : \(e^z=2e^{iz}\), soit encore \(e^z=e^{\ln{2}+iz}\). On en déduit : \(z=\ln{2}+i(2k+1)\pi\) \((k\in Z)\).
Question
2. \(e^z=i\).
Solution détaillée
On écrit l'équation sous la forme : \(e^z=i=e^{\frac{i\pi}{2}}\). On a donc : \(z=i\left(2k+\frac12\right)\pi\) \((k\in Z)\).
Question
3. \(\cos{z}=2\).
Solution détaillée
On a : \(\cos{z}=\frac{e^{iz}+e^{-iz}}{2}\). L'équation s'écrit : \(e^{iz}-4+e^{-iz}=0\), soit encore, \(e^{2iz}-4e^{iz}+1=0\).
On pose : \(X=e^{iz}\), on obtient \(X^2-4X+1=0\). Les solutions de cette équation sont : \(X=2+\sqrt{3}\) et \(X=2-\sqrt{3}\).
On doit donc résoudre les équations suivantes : \(e^{iz}=2+\sqrt{3}\) et \(e^{iz}=2-\sqrt{3}\).
La première s'écrit : \(e^{iz}=e^{\ln{(2+\sqrt{3})}}\). Les solutions sont de la forme :
\(iz=\ln{(2+\sqrt{3})}+2ik\pi\), \((k\in Z)\) soit \(z=-i\ln{(2+\sqrt{3})}+2k\pi\).
La seconde s'écrit : \(e^{iz}=e^{\ln{(2-\sqrt{3})}}\). Les solutions sont de la forme :
\(iz=\ln{(2-\sqrt{3})}+2ik\pi\), \((k\in Z)\), soit \(z=-i\ln{(2-\sqrt{3})}+2k\pi\).