Exercice 29

Partie

Question

Étudier la convergence simple de la suite de fonctions (\(f_n\)) définies sur \(\mathbb{R_+}\) par :

\(f_n(x) = \frac{1}{1 + nx}\)

Aide simple

La suite (\(f_n\)) converge simplement sur \(\mathbb{R_+}\) vers la fonction f définie par f (0) = 1 et, pour x > 0, f (x) = 0.

Mais la convergence n'est pas uniforme sur \(\mathbb{R_+}\).

Solution détaillée

Le problème de non-convergence uniforme semble provenir du point 0.

L'idée est donc de regarder s'il y a convergence uniforme sur [a, \(+\infty\) [ (avec a > 0).

Sur [a, \(+\infty\) [ , la suite (\(f_n\)) converge simplement vers \(\tilde{0}\) et  \(| f_n(x)- 0 |= f_n(x) = \frac{1}{1 + nx}\)

Il est alors immédiat que \(\underset{x \in [a, +\infty [}{sup} \Big \{ |f_n(x )- 0 | \Big \} = \frac{1}{1 + na}\)

\(\displaystyle \lim_{n \rightarrow +\infty } \frac{1}{1 + na} = 0\). , donc la suite (f_n) converge uniformément vers \(\tilde{0}\) sur [a, \(+\infty\) [.

La suite (\(f_n\)) converge uniformément vers\(\tilde{0}\) sur [a, \(+\infty\) [ [ (a > 0 ).