Exercice 33

Partie

Question

Étudier la convergence uniforme de la suite de fonctions (\(f_n\)) définies pour n \(\geqslant\) 1 par\( f_n(x)= x^2 sin\bigg (\frac{1}{nx} \bigg)\)

Aide simple

On prolonge chaque \(f_n\) par continuité en 0 en posant \(f_n\)(0) = 0.

La suite ( \(f_n\) ) converge simplement mais pas uniformément vers \(\tilde{0}\) sur \(\mathbb{R}\).

Solution détaillée

La non-convergence uniforme sur \(\mathbb{R}\) vient du fait que, pour n fixé, f_n(x) \(f_n(x) \begin{array}{c}  \sim \\ \pm\infty \end{array} \frac{x}{n}\)

L'idée est donc de se restreindre à un intervalle [a, b] (avec a < b).

Pour tout x de [a, b], \(| f_n(x) - 0| =\bigg | x^2 sin\bigg (\frac{1}{nx} \bigg) \bigg | \leqslant \bigg | x^2\frac{1}{nx} \bigg | = \bigg | \frac{x}{n} \bigg | \leqslant \frac{max \lbrace |a| ; |b|\rbrace}{n}\)

On voit immédiatement que \(\displaystyle \lim_{n \rightarrow +\infty }  \frac{max \lbrace |a| ; |b|\rbrace}{n} = 0\) donc la convergence de la suite (\(f_n\)) vers \(\tilde{0}\) est uniforme sur [a, b].

La suite converge uniformément vers \(\tilde{0}\) sur [a, b].