Exercice 44

Partie

Question

Montrer que l'ensemble\( \mathcal{A}([a,b],\mathbb{R})\) des fonctions affines par morceaux sur [a, b] à valeurs dans \(\mathbb{R}\) est dense dans l'ensemble \(\mathcal{C}([a,b],\mathbb{R})\) des fonctions continues sur [a, b] à valeurs réelles.

Aide simple

Soit f une fonction continue définie sur [a, b] et à valeurs réelles. Il faut construire une suite (\(f_n\)) de fonctions affines par morceaux qui converge uniformément vers f sur [a, b].

Transposer le résultat d'approximation uniforme d'une fonction continue sur un segment [a, b] par des fonctions en escalier traité en approfondissement.

Pour montrer la convergence uniforme de la suite (\(f_n\)) vers f , sur un intervalle \([a_{i- 1}^n,a_i^n ]\) de la subdivision considérée, on pourra écrire :

\(f(x) = \frac{(a_i^n - x) \times f(x) + (x - a_{i- 1}^n) \times f(x)}{a_i^n - a_{i- 1}^n}\)

Solution détaillée

f est continue sur [a, b], donc f est uniformément continue sur [a, b] :

\(\forall \varepsilon > 0, \exists \alpha >0, \forall (x , y) \in [a,b]^2, (| x - y |< \alpha) \Rightarrow (|f (x)- f (y)|< \varepsilon)\)

Soit n \(\in \mathbb{N^*}\).

Appliquons ce résultat en fixant \(\varepsilon = \frac{1}{n}\) . Soit\( \alpha_n\) le réel correspondant, on a ainsi :

\(\forall (x , y) \in [a,b]^2, | x - y |< \alpha_n \Rightarrow |f (x)- f (y)|< \frac{1}{n}.\) (1)

Il existe un entier p tel que \(\frac{b - a }{p} < \alpha_n\) .

Soit \(h = \frac{b - a}{p}\). p Introduisons la subdivision de [a, b] définie par :

\(a_0^n = a\), \(a_1^n = a + h\), ... \(a_p = a + p .h = b\).

Nous considérerons les intervalles \(l_1 = [a_0^n,a_1^n] \) ,\( l_2 = [a_1^n ,a_2^n]\) , . . . ,\( l_p = [a_{p-1}^n ,a_p^n]\) .

Définissons la suite de fonctions affines par morceaux (\(f_n\)) sur [a, b] par :

\(\forall i \in \mathbb{N}, 1 \leqslant i \leqslant p, \forall x \in l_i, f_n(x) = \frac{f_n(a_i^n) - f_n(a_{i-1}^n)}{a_i^n - a_{i - 1}^n}. (x - a_{i - 1}^n) + f_n(a_{i - 1}^n)\)

\(f_n\) sur chaque intervalle \(l_i\) est la fonction affine qui prend les valeurs

\(f_n(a_{i - 1}^n) = f (a_{i - 1}^n)\) et  \(f_n(a_{i }^n ) = f (a_i^n )\) aux points \(a_{i - 1}^n\) et \(a_i^n\) .

\(f_n\) est donc bien une fonction affine par morceaux.

Montrons que la suite (\(f n\)) converge uniformément vers f sur [a, b].

\(\forall i \in \mathbb{N}, 1 \leqslant i \leqslant p, a_i^n - a_{i-1}^n = h < \alpha_n\), d'après (1), on a donc : pour \(1 \leqslant i \leqslant p, \forall (x , y) \in l_i^2, |f (x)- f (y)|< \frac{1}{n}\) (2)

Soit x \(\in\) [a, b].\( \exists i \in\) {1,...,p} tel que x \(\in l_i\).

\(|f (x)- f_n(x)|= \bigg |f (x)- \frac{f_n(a_i^n) - f_n(a_{i - 1}^n)}{a_i^n - a_{i-1}^n}. (x - a_{i-1}^n) - f_n(a_{i-1}^n) \bigg |\)

Nous pouvons mettre également f (x) sous la forme :

\(f (x) = \frac{(a_i^n - x)f(x) + (x - a_{i-1}^n) f(x)}{a_i^n - a_{i-1}^n}\)

D'où  \(f (x)- f_n(x) = \frac{1}{a_i^n -a_{i - 1}^n} [(a_i^n - x)(f(x) - f(a_{i - 1}^n)) + (x -a_{i - 1}^n)(f(x) - f(a_i^n))]\)

Donc\( |f (x)- f_n(x)| \leqslant \frac{a_i^n - x}{a_i^n -a_{i - 1}^n} |f (x )- f (a_{i-1}^n )| + \frac {x -a_{i - 1}^n}{a_i^n -a_{i - 1}^n} |f (x )- f (a_{i}^n )|\)

Comme x \(\in l_i, o \leqslant \frac{a_i^n - x}{a_i^n -a_{i - 1}^n} \leqslant 1\) et\( 0 \leqslant \frac {x -a_{i - 1}^n}{a_i^n -a_{i - 1}^n} \leqslant 1\) .

De plus, on a d'après (2) par continuité uniforme : \( |f (x) - f(a_{i - 1}^n)|< \frac{1}{n}\) et \( |f (x) - f (a_i^n )|< \frac{1}{n}\).

On en déduit que\( M_n = \underset{x \in [a, b]}{sup} \bigg \{ | f(x) - f_n(x) | \bigg \} \leqslant \frac{2}{n}\)

La suite (\(M_n\)) tend vers 0. La suite (\( f_n\)) converge donc uniformément vers f sur l'intervalle [a, b].

Commentaires : La fonction f peut être dérivable ou même de classe \(\mathcal{C}_p\) sur [a, b]. Les fonctions\( f_n\) affines par morceaux sont continues mais souvent non dérivables, et la suite (\( f_n\)) converge néanmoins uniformément vers f .