Exercice 45

Partie

Question

Soit\( (P_n)_{n \in \mathbb{N}}\) la suite d'applications définie par : \(P_n = \left \{ \begin{array}{ccc} [-1 , 1 ]& \rightarrow & \mathbb{R} \\x & \rightarrow & \frac{\int_0^x (1 - t^2)^n dt}{\int_0^1 (1 - t^2)^n dt} \end{array} \right.\)

  1. Montrer que pour tout réel A vérifiant 0 < A < 1, la suite (\(P_n\)) converge uniformément sur [-1,-A] U [A, 1], vers l'application \(\phi_A\) définie par

    \(\left \{ \begin{array}{ccc} \phi_A(x) = 1& \textrm{si} & x \in [A , 1]\\\phi_A(x) = -1 & \textrm{si}&x \in [-1, -A]\end{array} \right.\).

  2. En déduire que la suite d'applications (\(Q_n\)) définie sur l'intervalle [-1, 1] par \(Q_n(x ) = \int_0^x P_n(t) dt\) (n \(\in \mathbb{N}\)) converge uniformément sur [-1, 1] vers la fonction x \(\rightarrow\) |x|.

Aide simple
  1. Remarquer que\( P_n\) est une fonction impaire, et étudier uniquement la convergence uniforme vers 1 sur [A, 1].

    On pensera à minorer\( 1 - t \leqslant 1 - t^2\) sur [0, 1].

  2. \(Q_n\) est une fonction paire, donc il suffit de montrer que \(Q_n\) converge uniformément sur [0, 1] vers la fonction x \(\rightarrow\) x .Soit \(\varepsilon\) > 0 fixé. Découper l'intégrale :\( \displaystyle \int_0^x  P_n(t) \textrm{ }dt = \int_0^{\frac{\varepsilon}{2}}  P_n(t) \textrm{ }dt + \int_{\frac{\varepsilon}{2}}^x  P_n(t) \textrm{ }dt\) et utiliser la convergence uniforme de \(P_n\) vers 1 sur \([\frac{\varepsilon}{2}, 1]\).

Solution détaillée

1. Montrons tout d'abord que la fonction \(P_n\) est impaire.

La fonction \(f_n\) définie par \(f_n(t) = (1 - t^2)^n\) est une fonction paire, donc sa primitive qui s'annule en 0 est une fonction impaire : \(P_n\) est donc impaire et la convergence uniforme de ( \(P_n\) ) vers 1 sur [A, 1] entraînera alors la convergence uniforme de ( \(P_n\) ) vers la fonction \(\phi_A\) sur [-1,-A] U [A, 1].

Soit x \(\in\) [A, 1], \(| P_n(x) - 1| = \Bigg | \frac{ \displaystyle \int_0^x (1 - t^2)^n \textrm{ } dt}{\displaystyle \int_0^1 (1 - t^2)^n \textrm{ } dt} - 1\Bigg| =\Bigg | \frac{ \displaystyle \int_x^1 (1 - t^2)^n \textrm{ } dt}{\displaystyle \int_0^1 (1 - t^2)^n \textrm{ } dt} \Bigg|\)

A \(\leqslant\) x \(\leqslant\) 1 donc, pour tout t \(\in\) [x, 1], on a : 0 \(\leqslant (1 - t^2)^n \leqslant (1 - x^2)^n \leqslant (1 - A^2)^n\), donc 0 \(\leqslant \displaystyle \int_x^1 (1 - t^2)^n \textrm{ } dt \leqslant  (1 - x )(1 - A^2 )^n \leqslant (1 - A^2)^n\) .

D'autre part : si t \(\in\) [0,1] , alors 0 \(\leqslant\) 1 - t \(\leqslant\) 1 - t^2 , d'où :

0 \(\leqslant (1 - t)^n \leqslant (1 - t^2)^n\)

\(0 \leqslant \int_0^1 (1 - t)^n \textrm{ } dt \leqslant \int_0^1 (1 - t^2)^n \textrm{ } dt\)

\(0 < \frac{1}{n + 1} \leqslant \int_0^1 (1 - t^2)^n \textrm{ } dt\)

d'où \(\frac{1}{\int_0^1 (1 - t^2)^n \textrm{ } dt} \leqslant n + 1\).

On en déduit donc la majoration uniforme : \(\forall x \in [A, 1], |P_n(x) - 1| \leqslant (n + 1)(1 - A^2)^n,\)

avec \(\displaystyle \lim_{n \rightarrow \infty } (n + 1)( 1 - A^2)^n = 0\) .

La suite (\(P_n\)) converge donc uniformément vers 1 sur [A, 1], donc d'après la parité, uniformément vers la fonction \(\phi_A\) sur [-1,-A] U [A, 1].

2. De la même façon, \(Q_n\), primitive d'une fonction impaire est une fonction paire, nous étudierons donc uniquement la convergence uniforme de (\(Q_n\)) vers la fonction x \(\rightarrow\) x sur [0, 1].

\(| Q_n(x) - x| = \bigg| \int_0^x \left( P_n(t) - 1\right) dt \bigg| \bigg| \int_0^x P_n(t)dt - x \bigg |\)

Soit \(\varepsilon\) > 0. En découpant l'intégrale, et en appliquant l'inégalité triangulaire pour x > \(\frac{\varepsilon}{2}\) :

\(\bigg | \displaystyle \int_0^xP_n(t) \textrm{ } dt - x \bigg | \leqslant \bigg| \int_0^{\frac{\varepsilon}{2}}P_n(t) \textrm{ } dt \bigg| + \bigg| \int_{\frac{\varepsilon}{2}}^xP_n(t) \textrm{ } dt - x\bigg|\)

0 \(\leqslant P_n(t) \leqslant\) 1, donc \(\bigg| \int_0^{\frac{\varepsilon}{2}}P_n(t) \textrm{ } dt \bigg| \leqslant \frac{\varepsilon}{2}\)

Si , x >\(\frac{\varepsilon}{2}\) la suite (\(P_n\)) converge uniformément vers 1 sur l'intervalle [\(\frac{\varepsilon}{2}\), 1] e, 2 1 , donc, d'après un résultat du cours, la suite (\(Q_n\)) converge uniformément vers x\(\rightarrow\) x sur cet intervalle (convergence uniforme des primitives sur un intervalle borné de convergence uniforme des fonctions).

D'après la définition de la convergence uniforme :

\(\exists\) n0 \(\in \mathbb{N}, \forall\) n\(\leqslant\) n0, \(\forall x \in [\frac{\varepsilon}{2}, 1], | Q_n(x )- x| \leqslant  \frac{\varepsilon}{2}.\)

Donc, pour n\(\leqslant\) n0 : \(\forall x \in [\frac{\varepsilon}{2}, 1], \bigg|\int_0^x P_n(t) \textrm{ } dt - x \bigg| \leqslant \frac{\varepsilon}{2}+ \frac{\varepsilon}{2} = \varepsilon\)

Il reste à traiter le cas x \(\in [0, \frac{\varepsilon}{2}]\) :

\(| Q_n(x )- x| =\bigg|\int_0^x P_n(t) \textrm{ } dt - x \bigg| \leqslant \bigg|\int_0^{\frac{\varepsilon}{2}} P_n(t) \textrm{ } dt  \bigg| + | x | \leqslant \frac{\varepsilon}{2}+ \frac{\varepsilon}{2} = \varepsilon\) car 0 \(\leqslant P_n(t) \leqslant\) 1.

Dans tous les cas, il existe un rang n0 à partir duquel, pour tout x de [0, 1], \(|Q_n(x) - x|  < \varepsilon\) .

La suite (\(Q_n\)) converge donc uniformément vers x \(\rightarrow\) x sur [0, 1].