Limite
Théorème : Interversion des limites

Soit ( ) une série uniformément convergente sur et soit   appartenant à (c'est-à-dire dans ou sur son bord). On suppose que, pour tout de , la fonction admet une limite finie quand tend vers dans .

Alors : ( ) converge et

Démonstration

C'est le théorème d'interversion des limites (voir le chapitre consacré aux suites de fonctions) appliqué aux sommes partielles .

En effet, ( ) converge alors uniformément sur et pour fixé, quand tend vers , tend vers .

Exemple : Exemple 1

Exemple

Si , converge et .

Si , diverge.

Lorsque , mais est divergente, donc la convergence de n'est pas uniforme sur .

En revanche, elle est uniforme et même normale sur les intervalles du type et pour tout car, sur un tel intervalle, et converge.

Exemple : Exemple 2

Exemple

est une série uniformément convergente sur .

Notons sa somme .

Pour tout de , , donc .

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