Limite
Théorème : Interversion des limites
Soit (\(\sum{f_{n}}\)) une série uniformément convergente sur \(I\) et soit \(x_{0} \in \mathbb{R} \cup \pm \infty\) appartenant à \(\overset{-}{I}\) (c'est-à-dire dans \(I\) ou sur son bord). On suppose que, pour tout \(n\) de \(\mathbb{N}\), la fonction \(f_{n}\) admet une limite finie \(\ell n\) quand \(x\) tend vers \(x_{0}\) dans \(I\).
Alors : (\(\sum{\ell n}\)) converge et \(\underset{x \in I}{\underset{x \rightarrow x_{0}}{\textrm{lim}}} \left(~\overset{+\infty}{\underset{n = 0}{\sum}}f_{n}(x)~\right) = \overset{+\infty}{\underset{n = 0}{\sum}}~\left(~ \underset{x \in I}{\underset{x \rightarrow x_{0}}{\textrm{lim}}} f_{n}(x)~\right)~=~\overset{+\infty}{\underset{n = 0}{\sum}}~\ell n\)
Démonstration :
C'est le théorème d'interversion des limites (voir le chapitre consacré aux suites de fonctions) appliqué aux sommes partielles \(S_{n} = \overset{n}{\underset{k = 0}{\sum}}~f_{k}\).
En effet, (\(S_{n}\)) converge alors uniformément sur \(I\) et pour \(n\) fixé, quand \(x\) tend vers \(x_{0}\), \(S_{n}(x)\) tend vers \(\overset{n}{\underset{k=0}{\sum}}~\ell k\).
Exemple : Exemple 1
Exemple \(\left( \sum{x^{n}} \right)\)
Si \(x \in \left]-1, 1\right[\), \(\left( \sum{x^{n}} \right)\) converge et \(\overset{+\infty}{\underset{n = 0}{\sum}}~x^{n} = \frac{1}{1-x}\).
Si \(x \notin \left]-1, 1\right[\), \(\left( \sum{x^{n}} \right)\) diverge.
Lorsque \(x \rightarrow 1\), \(f_{n}(x) \rightarrow 1\) mais \(\overset{+\infty}{\underset{n = 0}{\sum}}~1\) est divergente, donc la convergence de \(\left( \sum{x^{n}} \right)\) n'est pas uniforme sur \(\left]-1, 1\right[\).
En revanche, elle est uniforme et même normale sur les intervalles du type \(]-R, R[\) et pour tout \(R \in ]0, 1[\) car, sur un tel intervalle, \(|x^{n}| < R^{n}\) et \(\left( \sum{R^{n}} \right)\) converge.
Exemple : Exemple 2
Exemple \(\left( \sum{\frac{(-1)^{n}}{x + n}} \right)\)
\(\left( \sum{\frac{(-1)^{n}}{x + n}} \right)\) est une série uniformément convergente sur \(\mathbb{R}^{+}\).
Notons sa somme \(f\).
Pour tout \(n\) de \(\mathbb{N}\), \(\underset{x \rightarrow +\infty}{\textrm{lim}}~\frac{1}{x + n} = 0\), donc \(\underset{x \rightarrow +\infty}{\textrm{lim}}~f(x) = 0\).