Continuité de la somme d'une série de fonctions
En appliquant la proposition concernant la continuité de la fonction limite d'une suite de fonctions (voir le chapitre consacré aux suites de fonctions) aux sommes partielles \(S_{n} = \overset{n}{\underset{k = 0}{\sum}}~f_{k}\), on obtient :
Théorème : Continuité de la somme d'une série
Soit (\(f_{n}\)) une suite d'applications définies sur \(I\) et soit \(x_{0} \in I\). Si la série (\(\sum{f_{n}}\)) est uniformément convergente sur \(I\) et si chacune des fonctions \(f_{n}\) est continue en \(x_{0}\) de \(I\), alors la fonction \(S : x \longmapsto \overset{+\infty}{\underset{n = 0}{\sum}}~f_{n}(x)\) est continue en \(x_{0}\).
Exemple :
Exemple \(\left( \sum{\frac{\sin{(nx)}}{n^{2}}} \right)\)
La série de fonctions \(\left(~\underset{n \geq 1}{\sum}~\frac{\sin{(nx)}}{n^{2}}~\right)\) est normalement convergente sur \(\mathbb{R}\), donc uniformément convergente sur \(\mathbb{R}\), et chacune des fonctions \(f_{n} : x \longmapsto \frac{\sin{(nx)}}{n^{2}}\) est continue sur \(\mathbb{R}\) ; la fonction \(T_{1} : x \longmapsto \overset{+\infty}{\underset{n=1}{\sum}}\) est donc continue sur \(\mathbb{R}\).
De même pour \(T_{2} : x \longmapsto \overset{+\infty}{\underset{n=1}{\sum}}~\frac{\cos{(nx)}}{n^{2}}\).
Donc, la série \(\left(~\underset{n \geq 1}{\sum}~\frac{e^{i~nx}}{n^{2}}~\right)\) converge uniformément vers \(T_{1} + iT_{2}\) qui est continue (ceci peut d'ailleurs se voir directement).
Comme nous l'avons remarqué pour les suites de fonctions, il suffit en fait que la convergence de (\(\sum{f_{n}}\)) soit uniforme sur tout intervalle fermé borné de \(I\) pour assurer la continuité de \(S\) sur \(I\) :
Corollaire : Version locale du théorème de continuité
Soit (\(f_{n}\)) une suite d'applications continues d'un intervalle \(I\) à valeurs dans \(\mathbb{R}\) ou \(\mathbb{C}\) ; si (\(\sum{f_{n}}\)) converge uniformément vers \(f\) sur tout intervalle fermé borné de \(I\), alors la somme de la série est continue sur \(I\).
Exemple : Application
Application \(exp(z) = \overset{+\infty}{\underset{n = 0}{\sum}}~\frac{z^{n}}{n!}\)
\(exp(z) = \overset{+\infty}{\underset{n = 0}{\sum}}~\frac{z^{n}}{n!}\) converge simplement sur \(\mathbb{C}\). On a vu que cette série converge normalement sur tout ensemble \(B_{R} = \big\{ z \in \mathbb{C} / |z| \leq R \big\}\), donc la somme est continue sur \(B_{R}\), ceci pour tout \(R > 0\) ; donc, la somme est continue sur \(\mathbb{C}\).