Dérivation terme à terme d'une série de fonctions
En appliquant le théorème de dérivation de la fonction limite d'une suite de fonctions (voir le chapitre consacré aux suites de fonctions) aux sommes partielles \(S_{n} = \overset{n}{\underset{k=0}{\sum}}~f_{k}\), on a :
Théorème : Dérivation de la somme d'une série
Soit (\(f_{n}\)) une suite d'applications d'un intervalle borné \(I\) dans \(\mathbb{R}\) ou \(\mathbb{C}\). On suppose :
il existe \(x_{0}\) dans \(I\) tel que la série numérique \(\sum{f_{n}(x_{0})}\) soit convergente ;
pour tout \(n \in \mathbb{N}\), \(f_{n}\) est dérivable sur \(I\) et la série (\(\sum{f'_{n}}\)) converge uniformément sur \(I\).
Alors, la série (\(\sum{f_{n}}\)) est uniformément convergente sur \(I\) et sa somme \(S : x \mapsto \overset{+\infty}{\underset{n=0}{\sum}} f_{n}(x)\) est dérivable sur \(I\) et \(S'(x) = \overset{+\infty}{\underset{n=0}{\sum}}f'_{n}(x)\).
C'est-à-dire : \(\left( \overset{+\infty}{\underset{n=0}{\sum}} f_{n} \right)' = \overset{+\infty}{\underset{n=0}{\sum}}(f'_{n})\).
Attention :
C'est la convergence uniforme de la série des dérivées \(f'_{n}\) qui permet d'intervertir les signes \(\frac{\textrm{d}}{\textrm{dx}}\) et \(\overset{+\infty}{\underset{n=0}{\sum}}\).
On dit que la dérivée de la somme de la série \(\left( \sum{f_{n}} \right)\) s'obtient en dérivant terme à terme la série \(\left( \sum{f_{n}} \right)\).
Corollaire : Version locale du théorème de dérivation
Soit (\(f_{n}\)) une suite d'applications d'un intervalle \(I\) dans \(\mathbb{R}\) ou \(\mathbb{C}\). On suppose :
il existe \(x_{0}\) dans \(I\) tel que la série numérique (\(\sum{f_{n}(x_{0})}\)) soit convergente;
pour tout \(n \in \mathbb{N}\) et pour tout fermé borné \(F\) inclus dans \(I\), \(f_{n}\) est dérivable sur \(F\) et la série (\(\sum{f'_{n}}\)) converge uniformément sur \(F\).
Alors, la série (\(\sum{f_{n}}\)) est uniformément convergente sur \(F\) et sa somme \(S : x \longmapsto \overset{+\infty}{\underset{n=0}{\sum}}~f_{n}(x)\) est dérivable sur \(I\) et \(S'(x) = \overset{+\infty}{\underset{n=0}{\sum}}~f'_{n}(x)\).
Exemple : Exemple 1
Étudions la continuité et la dérivabilité de la somme de la série \(\left( \sum{\frac{1}{x^{2} - n^{2}}} \right)\).
Posons \(f_{n}(x) = \frac{1}{x^{2} - n^{2}}\), définie sur \(\mathbb{R} / \mathbb{Z}\). Sur cet ensemble, toutes les fonctions \(f_{n}\) sont continues et dérivables.
Soit \(k \in \mathbb{Z}\), pour \(n > |k| + 1\) et \(x \in \left] k-1, k\right[ \quad \left| \frac{1}{x^{2} - n^{2}} \right| \leq \frac{1}{n^{2} - k^{2}} (~\textrm{si}~k > 0)~\textrm{ou}~\left| \frac{1}{x^{2}-n^{2}} \right| \leq \frac{1}{n^{2} -(1 - k)^{2}} (~\textrm{si}~k \leq 0)\),
\(\left( \underset{n \geq |k| + 2}{\sum}~\frac{1}{x^{2} - n^{2}} \right)\) converge normalement sur \(]k-1, k[\) donc la fonction \(x \longmapsto \underset{n \geq |k|+2}{\sum}~\frac{1}{x^{2}-n^{2}}\) est continue sur \(]k-1, k[\).
Donc, la somme de la série \(\left(\sum{\frac{1}{x^{2}-n^{2}}}\right)\) est aussi continue sur \(]k-1, k[\) pour tout \(k\) de \(\mathbb{Z}\), donc sur \(\mathbb{R}/\mathbb{Z}\).
Pour la dérivabilité, on regarde \(f'_{n}(x) = \frac{-2x}{(x^{2} - n^{2})^{2}}\).
Sur \(]k-1, k[\) et pour \(n \geq |k|+2\) :
\(|f'_{n}(x)| \leq \frac{2k}{(n^{2} - k^{2})^{2}} (~\textrm{si}~k > 0)~\textrm{ou}~|f'_{n}(x)| \leq \frac{2(1-k)}{(n^{2} - (1-k)^{2})^{2}} (~\textrm{si}~k \leq 0)\),
donc \(\left( \underset{n \geq |k|+2}{\sum} f'_{n}\right)\) converge normalement sur \(]k-1, k[\) donc, \(\left( \underset{n \geq |k|+2}{\sum} f_{n} \right)\) est dérivable sur \(]k-1, k[\) donc aussi \(\left( \underset{n \geq 0}{\sum}f_{n}\right)\), et ceci pour tout \(k\) de \(\mathbb{Z}\), donc sur \(\mathbb{R}/\mathbb{Z}\).
Exemple : Exemple 2
\(f(x) = \overset{+\infty}{\underset{n=1}{\sum}}~\frac{e^{-nx^{2}}}{n^{2}}\)
\(f\) est continue sur \(\mathbb{R}\), car il y a convergence normale.
Dérivabilité : \(f'_{n}(x) = \frac{-2xe^{-nx^{2}}}{n} = \frac{-2}{n\sqrt{n}}(x\sqrt{n}) e^{-(x\sqrt{n})^{2}}\). Or, \(\left| 2te^{-t^{2}} \right|\) est borné sur \(\mathbb{R}\) puisque cette quantité tend vers \(0\) en \(+\infty\). Donc, \(\left| f'_{n}(x)\right| \leq \frac{A}{n\sqrt{n}}\), donc il y a convergence normale de \(\left( \sum{f'_{n}} \right)\) sur \(\mathbb{R}\).
Donc, pour tout \(x\) de \(\mathbb{R}\), \(f'(x) = \overset{+\infty}{\underset{n=1}{\sum}}~f'_{n}(x)\).
Intégrabilité : \(\left( \sum{f_{n}} \right)\) converge uniformément vers \(f\) sur \(\mathbb{R}\), donc \(f\) est continue et donc intégrable sur tout intervalle \([0, x]\), et la série de fonctions \(\left( \underset{n \geq 0}{\sum} F_{n} \right)\) définie par \(F_{n}(x) = \overset{x}{\underset{0}{\int}}~f_{n}(t)~\textrm{dt}\) converge uniformément sur \(\mathbb{R}\) vers \(\overset{x}{\underset{0}{\int}}~f(t)~\textrm{dt}\).
Or, la suite \(\overset{\pm \infty}{\underset{0}{\int}}~f_{n}(t)~\textrm{dt}\) converge :
\(F_{n}(x) = \overset{x}{\underset{0}{\int}}~f_{n}(t)~\textrm{dt} = \frac{1}{n^{2}}~\overset{x}{\underset{0}{\int}}~e^{-nt^{2}}~\textrm{dt} = \frac{1}{n^{2}\sqrt{n}}~\overset{x\sqrt{n}}{\underset{0}{\int}}~e^{-u^{2}}~\textrm{du} \leq \frac{1}{n^{2}\sqrt{n}}~\overset{+\infty}{\underset{0}{\int}}~e^{-u^{2}}~\textrm{du}\)
qui converge.
D'où : \(\overset{+\infty}{\underset{0}{\int}}~f(t)~\textrm{dt} = \underset{n \geq 1}{\sum}~\frac{1}{n^{2}\sqrt{n}}~\overset{+\infty}{\underset{0}{\int}}~e^{-u^{2}}~\textrm{du} = \frac{\sqrt{\pi}}{2}~\underset{n \geq 1}{\sum}~\frac{1}{n^{2}\sqrt{n}}\).