Exercice 2
Partie
Question
Déterminer le domaine de convergence simple de la série de fonctions \(\displaystyle \left( \sum_{n \geqslant 1} f_n \right) \) définies par :
\(f_n(x) = \frac{cos(nx)}{n^2}\)
Aide simple
Penser à l'absolue convergence.
Solution détaillée
Pour \(x_0 \in \mathbb{R}\), \(|u_n(x_0)| \geqslant \frac{1}{n^2}.\)
La série numérique \(\displaystyle \left( \sum_{n \geqslant 1} \frac{1}{n^2} \right) \) étant convergente, la série \(\displaystyle \left( \sum_{n \geqslant 1} \frac{cos(nx_0)}{n^2} \right) \) est absolument convergente donc convergente.
La série de fonctions \(\displaystyle \left( \sum_{n \geqslant 1} \frac{cos(nx)}{n^2} \right) \) converge simplement sur \(\mathbb{R}\) .