Exercice 8

Partie

Question

Si A est une partie de \(\mathbb{R}\), \(1_A\) est la fonction indicatrice de A qui prend la valeur 1 pour les éléments de A et 0 sur le complémentaire de A.

Déterminer le domaine de convergence simple de la série de fonctions \(\displaystyle \left( \sum_{n \geqslant 1} f_n \right)\) définies par :

\(f_n = \frac{1}{n}.1_{[n, n+1[}\)

Aide simple

Pour tout réel \(x_0\) , il existe un unique entier\( n_0 \in \mathbb{Z}\) (appelé partie entière de \(x_0\) et noté \(E (x_0)\) ) tel que :

\(n_0 \leqslant x_0 < n_0 + 1\)

Écrire les sommes partielles \(S_n(x_0) = \displaystyle \sum_{k=1}^n f_n(x_0)\) k=1 selon la valeur de \(x_0\) .

Solution détaillée

Pour n \(\in \mathbb{N}\) - {0} fixé, la fonction \(f_n\) prend la valeur \(\frac{1}{n}\) sur [n,n + 1[ et 0 ailleurs.

Soit \(x_0\) fixé dans \(\mathbb{R}\) :

  1. Si \(x_0\) < 1 : pour tout n \(\in \mathbb{N}\) \ {0} ,\( x_0 \notin\)  [n,n + 1[ donc \(f_n(x_0) = 0\) .\( \displaystyle \sum_{k=1}^n f_k(x_0)= 0\) et la série converge vers 0.

  2. Si \(x_0 \geqslant\) 1 , il existe \(n_0 \in \mathbb{N}\) \ {0} , (\(n_0 = E(x_0)\) ), \(f_{n_0} (x_0) = \frac{1}{n_0}\) ;

pour \(k \in \mathbb{N}, k \neq n_0, f_k(x_0) = 0\) .

Pour \(n \geqslant n_0, S_n(x_0) = \displaystyle \sum_{k=1}^n f_k(x_0) = f_{n_0}(x_0) = \frac{1}{n_0}\)

\(\displaystyle \lim_{n \rightarrow +\infty } S_n(x_0) = \frac{1}{n_0} = \frac{1}{E(x_0)}\)

La série converge simplement sur \(\mathbb{R}\) vers la fonction :

\(\begin{array}{ccc}&&\\f(x)=0 & \textrm{si } x<1\\f(x) = \frac{1}{E(x)}& \textrm{pour } x \geqslant 1\end{array}\)