Séries de fonctions

Posons \(g_n(x) = \frac{x^n}{n}\) et \(h_n(x) = \frac{x^{2n}}{n}\) ; alors \(f_n(x) = g_n(x)- h_n(x)\) .

1. Cherchons le domaine de convergence de la série \(\displaystyle \left( \sum_{n \geqslant 1} \frac{x^n}{n} \right).\)

   \(\displaystyle \lim_{n \rightarrow +\infty } \frac{|g_{n + 1}(x)|}{|g_n(x)|} = \displaystyle \lim_{n \rightarrow +\infty } \frac{n + 1}{n} |x|= |x|\)

   D'après le critère de D'Alembert, si \(|x|< 1\) , la série converge ; \(si |x| > 1\), la série diverge. Dans le cas où \(|x|= 1\), on étudiera plus spécialement.

   • Donc si \(-1 < x < 1\), la série converge car elle est absolument convergente.

   • Dans le cas où \(x < - 1\) ou \(x > 1\), la série diverge car son terme général ne tend pas vers 0 quand \(n\) tend vers \(+\infty\) .

     En effet \(\displaystyle \lim_{n \rightarrow +\infty } \frac{|x|^n}{n} = +\infty\) lorsque \(|x|> 1\).

   • Si \(x = 1\), g\((1) = \frac{1}{n}\) : la série diverge (série harmonique).

   • Si \(x = - 1\), \(g(- 1) = \frac{(-1)^n}{n}\) : la série est convergente (série harmonique alternée).

   Donc le domaine de convergence simple pour \(\left( \underset{n \geq 1}{\sum} g_{n}\right)\) est \([- 1,1[\).

2. Domaine de convergence de \(\left( \underset{n \geq 1}{\sum} h_{n}(x)\right)\) :

   \(\underset{n \rightarrow +\infty}{\textrm{lim}} \frac{|h_{n+1}(x)|}{|h_{n}(x)|} = \underset{n \rightarrow +\infty}{\textrm{lim}} \frac{n + 1}{n} |x^{2}| = x^{2}\).

   D'après le critère de D'Alembert, si  \(x^{2} < 1\), la série converge ; si \(x^{2} > 1\), la série diverge.

   Dans le cas où \(x^{2} = 1\), on étudiera plus spécialement.

   • Donc si \(-1 < x < 1\), la série converge car elle est absolument convergente.

   • Dans le cas où \(x < - 1\) ou \(x > 1\), la série diverge car son terme général ne tend pas vers 0 quand \(n\) tend vers \(+\infty\).

   • Si \(x = 1\) ou \(x = - 1\), \(h(1) = h(- 1) = \frac{1}{n}\) : la série diverge (série harmonique).

   Donc le domaine de convergence simple pour \(\left( \underset{n \geq 1}{\sum} h_{n}\right)\) est \(]- 1,1[\).

1. Sur \(]- 1,1[\), \(\left( \underset{n \geq 1}{\sum} f_{n} \right)\) est la somme de deux séries convergentes. Elle est donc convergente.

2. En - 1, c'est la somme d'une série convergente et d'une série divergente, elle diverge.

3. En 1, c'est la somme de deux séries divergentes : on ne peut conclure a priori.

   Si on étudie directement \(\left( \underset{n \geq 1}{\sum} f_{n}(1) \right)\), on a : \(f_{n}(1) = 0\) pour tout \(n\), donc la série converge vers 0.

4. Sur \(]-\infty, -1[ \bigcup ]1,+\infty[\), \(\left( \underset{n \geq 1}{\sum} f_{n} \right)\) est la somme de deux séries divergentes. On ne peut donc pas conclure a priori.

   Remarquons alors que \(|f_{n}(x)| = \frac{1}{n} |x|^{n} |1 - x^{n}|\).

   Or, \(\underset{n \rightarrow +\infty}{\textrm{lim}} \frac{|x|^{n}}{n} = +\infty\) et \(\underset{n \rightarrow +\infty}{\textrm{lim}} |1 - x^{n}|= +\infty\).

   Donc, \(\underset{n \rightarrow +\infty}{\textrm{lim}} |f_{n}(x)|= +\infty\), donc \(f_{n}(x)\) ne tend pas vers 0 lorsque \(n\) tend vers \(+\infty\), donc la série \(\left( \underset{n \geq 1}{\sum} f_{n}(x) \right)\) est divergente.

   La série de fonctions \(\left( \underset{n \geq 1}{\sum} \frac{1}{n} x^{n} ( 1 - x^{n}) \right)\) converge simplement sur \(]- 1,1]\).