Exercice 26

Partie

Soit \(g_{n}\), la fonction définie sur \(\mathbb{R}\) par : \(g_{n}(x) = \frac{x}{1 + n^{4} x^{4}}\) et \(g\) la fonction définie par \(g(x) = \overset{+\infty}{\underset{n = 1}{\sum}}~\frac{x}{1 + n^{4} x^{4}}\) lorsque cette quantité est définie.

Question

  1. Montrer que la série \(\left( \underset{n \geq 1}{\sum}~\frac{x}{1 + n^{4} x^{4}} \right)\) converge simplement sur \(\mathbb{R}\).

  2. La convergence de cette série est-elle normale sur \([a, b]\) \((0 < a < b)\), sur \([a, +\infty[\) \((a > 0)\), sur \(\mathbb{R}\) ?

Solution détaillée
  1. Soit \(g_{n}\) la fonction définie par : \(g_{n}(x) = \frac{x}{1 + n^{4} x^{4}}\).

    \(g_{n}(0) = 0\), donc pour \(x = 0\), la série est la série nulle. La série converge vers \(0\).

    Si \(x \neq 0\), \(g_{n}(x) \sim \frac{x}{n^{4} x^{4}} = \frac{1}{n^{4} x^{3}}\), la série est proportionnelle à la série de Riemann convergente \(\left( \sum \frac{1}{n^{4}} \right)\) elle est donc convergente.

    La série \(\left( \sum~\frac{x}{1 + n^{4} x^{4}} \right)\) converge sur \(\mathbb{R}\).

    • Étudions la convergence normale de la série sur \([a, b]\), \(0 < a < b\) :

      Sur \([a, b]\), \(|g_{n}(x)| \leq \frac{b}{1 + n^{4} a^{4}} \leq \frac{b}{n^{4} a^{4}}\),

      la série \(\left( \sum~\frac{b}{n^{4} a^{4}} \right)_{n \in \mathbb{N}^{*}}\) est convergente, la série \(\left( \underset{n \in \mathbb{N}}{\sum}~g_{n} \right)\) converge donc normalement sur \([a, b]\).

      La série \(\Big( \sum g_{n} \Big)\) est normalement convergente sur \([a, b]\).

    • Étudions la convergence normale de la série sur \([a, +\infty[\) (\(a > 0\)) :

      Sur \([a, +\infty[\), \(0 < g_{n}(x) \leq \frac{x}{n^{4} x^{4}} = \frac{1}{n^{4} x^{3}} \leq \frac{1}{n^{4} a^{3}}\).

      La série \(\left( \sum \frac{1}{n^{4} a^{3}} \right)\) est une série de Riemann convergente. La série \(\Big( \sum g_{n} \Big)\) est donc bien normalement convergente sur \([a, +\infty[\).

      La série \(\Big( \sum g_{n} \Big)\) est normalement convergente sur \([a, +\infty]\).

    • Étudions la convergence normale de la série sur \(\mathbb{R}\) : l'étude de la fonction \(g_{n}\) montre que \(\underset{x \in \mathbb{R}}{\textrm{max}}~\left\{ |g_{n}(x)| \right\} = \frac{3}{4x \sqrt[4]{3}~n}\), ce qui montre que la série \(\Big( \sum g_{n} \Big)\) n'est pas normalement convergente sur \(\mathbb{R}\).

      La série \(\Big( \sum g_{n} \Big)\) n'est pas normalement convergente sur \(\mathbb{R}\).

Question

Montrer que \(g\) est continue sur \(\mathbb{R}^{*}\).

Solution détaillée

D'après le théorème local de convergence uniforme et continuité :

"Soit (\(f_{n}\)) une suite d'applications continues d'un intervalle \(I\) à valeurs dans \(\mathbb{R}\) ou \(\mathbb{C}\) ; si \(\Big( \sum{f_{n}} \Big)\) converge uniformément vers \(f\) sur tout intervalle fermé borné de \(I\), alors la somme de la série est continue sur \(I\)."

Les fonctions \(g_{n}\) sont continues sur \(]0, +\infty[\). La série \(\Big( \sum g_{n}(x) \Big)\) converge normalement donc uniformément sur tout intervalle \([a, +\infty[\), \(a > 0\), la somme de la série est donc continue sur \(]0, +\infty[\).

Par parité, on a donc également la continuité de \(g\) sur \(]-\infty, 0[\).

La somme de la série est continue sur \(\mathbb{R}\).

Question

Déterminer \(\underset{x \rightarrow +\infty}{\textrm{lim}} g(x)\).

Solution détaillée

La série \(\Big( \sum{g_{n}} (x) \Big)\) converge normalement sur \([a, +\infty[\), la convergence est donc uniforme sur cet intervalle et on applique le théorème d'interversion de limite :

\(\underset{x \rightarrow +\infty}{\textrm{lim}} g_{n}(x) = 0\), la série converge uniformément au voisinage de \(+\infty\), donc \(\underset{x \rightarrow +\infty}{\textrm{lim}} g(x) = \overset{+\infty}{\underset{n=0}{\sum}} 0 = 0\).

Donc, \(\underset{x \rightarrow +\infty}{\textrm{lim}} g(x) = 0\)

Question

Montrer que \(g\) est dérivable sur \(]0, +\infty[\).

Solution détaillée

Pour étudier la dérivabilité de \(g\) sur \(]0, +\infty[\) , il suffit d'appliquer la forme locale du théorème de dérivabilité :

"Soit (\(f_{n}\)) une suite d'applications d'un intervalle \(I\) dans \(\mathbb{R}\) ou \(\mathbb{C}\). On suppose :

  1. il existe \(x_{0}\) dans \(I\) tel que la série numérique \(\Big( \sum~f_{n}(x_{0}) \Big)\) soit convergente;

  2. pour tout \(n \in \mathbb{N}\) et pour tout fermé borné \(F\) inclus dans \(I\), \(f_{n}\) est dérivable sur \(F\) et la série \(\Big( \sum~f'_{n} \Big)\) converge uniformément sur \(F\).

Alors, la série \(\Big( \sum f_{n} \Big)\) est uniformément convergente sur \(F\) et sa somme \(S : x \longmapsto \overset{+\infty}{\underset{n=0}{\sum}}~f_{n}(x)\) est dérivable sur \(I\) et \(S'(x) = \overset{+\infty}{\underset{n=0}{\sum}}~f'_{n}(x)\)."

La série \(\Big( \sum~g_{n} \Big)\) converge simplement sur \(]0, +\infty[\).

Il reste à montrer que la série \(\Big( \sum~g'_{n} \Big)\) converge uniformément sur tout intervalle \([a, b]\), avec \(0 < a < b\).

\(g'_{n}(x) = \frac{1 - 3 n^{4} x^{4}}{(1 + n^{4} x^{4})^{2}}\)

Soit \(x_{n} = \frac{1}{3^{\left(\frac{1}{2}\right)}n}\), \(g'_{n}\) est positive sur \(]0, x^{n}]\), négative sur \([x^{n}, +\infty[\).

La suite (\(x^{n}\)) tend en décroissant vers \(0\).

Un intervalle \([a, b]\) étant fixé, il existe un entier \(n_{0}\) à partir duquel \([a, b] < [x_{n_{0}}, +\infty[\).

Nous considérons donc \(n \geq n_{0}\) et on a alors : \(0 \leq |g'_{n}(x)| =-g'_{n}(x) = \frac{3 n^{4} x^{4} - 1}{(1 + n^{4} x^{4})^{2}} \leq \frac{3 n^{4} x^{4}}{n^{8} x^{8}} \leq \frac{3}{n^{4} a^{4}}\).

La série \(\left( \sum \frac{3}{n^{4} a^{4}} \right)\) est une série de Riemann convergente, la série \(\Big( \sum g'_{n}(x) \Big)\) converge donc normalement sur \([a, b]\).

D'après la forme locale du théorème de dérivabilité, la fonction \(g\) est dérivable sur \(]0, +\infty[\) et \(g'(x) = \overset{+\infty}{\underset{n=0}{\sum}}~\frac{1 - 3n^{4} x^{4}}{(1 + n^{4} x^{4})^{2}}\).

Ainsi, la fonction \(g\) est dérivable sur \(]0, +\infty[\) et \(g'(x) = \overset{+\infty}{\underset{n = 0}{\sum}}~\frac{1 - 3n^{4}x^{4}}{(1 + n^{4} x^{4})^{2}}\).