Exercice 1
Partie
Question
Résoudre le système différentiel
\(\displaystyle{\left\{\begin{array}{lll}x' & = & y+1 \\y' & = & -x+2\end{array}\right.}\)
Montrer que les courbes paramétrées par les solutions sont des cercles concentriques, et déterminer leur centre commun.
Solution détaillée
Système différentiel :
\(\displaystyle{\left\{\begin{array}{llll}x' & = & y+1 \\y' & = & -x+2\end{array}\right.}\)
Le système homogène associé est bien connu : c'est le système
\(\displaystyle{\left\{\begin{array}{llll}x' & = & y \\y' & = & -x\end{array}\right.}\)
On sait que sa solution générale est de la forme
\(\displaystyle{\left\{\begin{array}{llll}x & = & A\cos t+B\sin t \\y & = & B\cos t-A\sin t\end{array}\right.}\)
et que ses trajectoires sont des cercles de centre O.
On cherche une solution de l'équation avec second membre, sous forme de constantes : on trouve que \(x=2\), \(y=-1\) convient.
La solution générale de l'équation complète est donc
\(\displaystyle{\left\{\begin{array}{llll}x & = & 2+A\cos t+B\sin t \\y & = & -1+B\cos t-A\sin t\end{array}\right.}\)
Les trajectoires du système avec second membre se déduisent des trajectoires du système homogène par une translation de vecteur (2, -1).
Donc ce sont également des cercles, dont le centre a pour coordonnées (2, -1).