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Trajectoires et points stationnaires

Rappelons qu'un système différentiel est dit autonome si les équations intervenant dans ce système ne font pas intervenir la variable par rapport à laquelle sont calculées les dérivées.

Autrement dit, un système différentiel autonome en dimension 2 est de la forme

où les fonctions et sont définies sur , à valeurs réelles, avec

Nous supposerons que le système vérifie les hypothèses du théorème d'existence et d'unicité des solutions, de sorte que, pour tous réels , , donnés, il existe une solution et une seule vérifiant la condition .

Pour alléger l'écriture, nous supposerons de plus que toutes les solutions sont définies sur tout entier.

On appelle trajectoire l'image d'une telle solution . C'est donc la courbe du plan d'équation paramétrique .

En d'autres termes, c'est l'ensemble de points du plan

Nous allons voir maintenant que plusieurs solutions peuvent avoir pour image la même trajectoire.

Proposition

Soit une solution. Alors, pour tout réel , est aussi une solution, qui a la même trajectoire.

Preuve

Il est facile de voir que, puisque le système est autonome, si est une solution du système, est aussi une solution. De plus, si parcourt , parcourt également, donc ces deux solutions parcourent toutes les deux l'image .

Si la solution passe par le point à l'instant , la solution passe par le même point à l'instant . Autrement dit, si l'on considère que représente le temps, parcourt la même trajectoire que avec un retard constant égal à .

Le théorème d'existence et d'unicité nous dit que pour tout point du plan et tout réel , il y a une unique solution vérifiant .

D'après la proposition ci-dessus, la trajectoire parcourue ne dépend que du point , et pas de . Le point détermine donc une unique trajectoire.

On énonce ce résultat sous la forme suivante :

Théorème

Par tout point passe une trajectoire et une seule.

Points stationnaires

Soit un point où on a à la fois et

La fonction constante , dont la dérivée est identiquement nulle, est une solution du système. Autrement dit, le point est une trajectoire à lui tout seul. Puisque par chaque point du plan passe une trajectoire et une seule, les autres trajectoires ne passent pas par le point . Un tel point est appelé point stationnaire du système (car la solution qui passe par ce point y reste, y stationne). On dit aussi point critique ou point d'équilibre. Nous y reviendrons ...

On appelle portrait de phases d'un système différentiel l'ensemble de ses trajectoires. Dans la pratique, tracer le portrait de phases d'un système de dimension 2, c'est tracer, dans le plan , suffisamment de trajectoires pour que l'on puisse les imaginer toutes.

Nous allons d'abord étudier le portrait de phase des systèmes linéaires homogènes à coefficients constants, et ensuite celui de systèmes plus généraux.

Légende :
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