| Trajectoires et points stationnaires |
Rappelons qu'un système différentiel est dit autonome si les équations intervenant dans ce système ne font pas intervenir la variable
par rapport à laquelle sont calculées les dérivées.
Autrement dit, un système différentiel autonome en dimension 2 est de la forme
où les fonctions
et
sont définies sur
, à valeurs réelles, avec
Nous supposerons que le système vérifie les hypothèses du théorème d'existence et d'unicité des solutions, de sorte que, pour tous réels
,
,
donnés, il existe une solution
et une seule vérifiant la condition
.
Pour alléger l'écriture, nous supposerons de plus que toutes les solutions sont définies sur
tout entier.
On appelle trajectoire l'image d'une telle solution
. C'est donc la courbe du plan
d'équation paramétrique
.
En d'autres termes, c'est l'ensemble de points du plan
Nous allons voir maintenant que plusieurs solutions peuvent avoir pour image la même trajectoire.
Soit
une solution. Alors, pour tout réel
,
est aussi une solution, qui a la même trajectoire.
Il est facile de voir que, puisque le système est autonome, si
est une solution du système,
est aussi une solution. De plus, si
parcourt
,
parcourt
également, donc ces deux solutions parcourent toutes les deux l'image
.
Si la solution
passe par le point
à l'instant
, la solution
passe par le même point
à l'instant
. Autrement dit, si l'on considère que
représente le temps,
parcourt la même trajectoire que
avec un retard constant égal à
.
Le théorème d'existence et d'unicité nous dit que pour tout point
du plan et tout réel
, il y a une unique solution
vérifiant
.
D'après la proposition ci-dessus, la trajectoire parcourue ne dépend que du point
, et pas de
. Le point
détermine donc une unique trajectoire.
On énonce ce résultat sous la forme suivante :
Par tout point
passe une trajectoire et une seule.
Soit un point
où on a à la fois
et
La fonction constante
, dont la dérivée est identiquement nulle, est une solution du système. Autrement dit, le point
est une trajectoire à lui tout seul. Puisque par chaque point du plan passe une trajectoire et une seule, les autres trajectoires ne passent pas par le point
. Un tel point
est appelé point stationnaire du système (car la solution qui passe par ce point y reste, y stationne). On dit aussi point critique ou point d'équilibre. Nous y reviendrons ...
On appelle portrait de phases d'un système différentiel l'ensemble de ses trajectoires. Dans la pratique, tracer le portrait de phases d'un système de dimension 2, c'est tracer, dans le plan
, suffisamment de trajectoires pour que l'on puisse les imaginer toutes.
Nous allons d'abord étudier le portrait de phase des systèmes linéaires homogènes à coefficients constants, et ensuite celui de systèmes plus généraux.
