Exercice 1

Partie

Question

Déterminer les valeurs propres et les vecteurs propres de la matrice

\(\displaystyle{A=\left(\begin{array}{cccccc}-1 & 2 \\ -3 & 4\end{array}\right)}\)

Tracer le portrait de phase[1] du système \(X'=AX\)

Solution détaillée

Les valeurs propres de la matrice \(\displaystyle{A=\left(\begin{array}{cccccc}-1 & 2 \\ -3 & 4\end{array}\right)}\) sont \(\lambda=1\) et \(\mu=2\).

Un vecteur propre pour \(\lambda=1\) est (1, 1), et un vecteur propre pour \(\mu=2\) est (2, 3).

Le point stationnaire est un nœud répulsif.

Vous pouvez voir ci-dessous le portrait de phase.

L'observation confirme que les trajectoires partent de l'origine tangentes au vecteur (1, 1), et ont une direction asymptotique de direction (2, 3).

Le système \(\displaystyle{\left\{\begin{array}{lll}x' & = & x+3y \\ y' & = & 2x+y\end{array}\right.}\) s'écrit \(\displaystyle{X'=\left(\begin{array}{cccccc}1 & 3 \\ 2 & 1\end{array}\right)X}\)

Le polynôme caractéristique de la matrice est \(\lambda^2-2\lambda-5\);

La matrice possède donc deux valeurs propres réelles de signes contraires : l'origine est donc un col.

Le système \(\displaystyle{\left\{\begin{array}{lll}x' & = & x-5y \\ y' & = & 5x-2y\end{array}\right.}\) s'écrit \(\displaystyle{X'=\left(\begin{array}{cccccc}1 & -5 \\ 5 & -2\end{array}\right)X}\)

Le polynôme caractéristique de la matrice est \(\lambda^2+\lambda-23\); le discriminant de ce polynôme est négatif.

La matrice possède donc deux valeurs propres complexes de partie réelle négative : l'origine est donc un foyer attractif.

Dans la figure ci-dessous, choisissez le système, parmi les 4 que l'on vient d'étudier. Le champ s'affiche.

Cliquez sur la figure pour tracer des trajectoires.