Exercice 2 [Portraits de phase et points stationnaires]

Exercice 2

Partie

Question

Déterminer, suivant la valeur du réel p, la nature (noeud^[1], col^[2], foyer^[3], ...) du point stationnaire à l'origine pour le système

\(\displaystyle{\left\{\begin{array}{lll}x' & = & -y \\ y' & = & x+py\end{array}\right.}\)

Résoudre ce système dans les cas \(p = -1\) , \(p = 0\) et \(p = 5/2\). Pour chacune de ces valeurs, on fera un dessin soigné de quelques trajectoires.

Solution détaillée

Pour étudier la nature du point stationnaire du système \(\displaystyle{\left\{\begin{array}{lll}x' & = & -y \\ y' & = & x+py\end{array}\right.}\), il faut étudier les valeurs propres de la matrice \(\displaystyle{A=\left(\begin{array}{cccccc}0 & -1 \\ 1 & p\end{array}\right)}\)

Le polynôme caractéristique de \(A\) est \(\lambda^2-p\lambda+1\), et le discriminant de ce polynôme est \(p^2-4\)

On trouve :

Si p < -2 : deux valeurs propres réelles négatives : l'origine est un nœud attractif.
Si -2 < p < 0 : deux valeurs propres complexes de partie réelle négative : l'origine est un foyer attractif.
Si p = 0, les valeurs propres sont i et -i : l'origine est un centre.
Si 0 < p < 2 : deux valeurs propres complexes de partie réelle positive : l'origine est un foyer répulsif.
Si p > 2 : deux valeurs propres réelles positives : l'origine est un nœud répulsif.

Pour p = -1, les solutions s'écrivent \(\displaystyle{\left\{\begin{array}{llll}x(t) & = &\textrm{exp}(-t/2)(A\cos(\sqrt{3}/2t)+B\sin(\sqrt{3}/2t))\\ y(t) & = & \frac{\textrm{exp}(-t/2)}{2}((A-\sqrt{3}B)\cos(\sqrt{3}/2t)+(B+\sqrt{3})\sin(\sqrt{3}/2t))\end{array}\right.}\)

Pour p = 0, elles s'écrivent \(\displaystyle{\left\{\begin{array}{lllll}x(t) & = & A\cos t+B\sin t \\ y(t) & = & -B\cos t+A\sin t\end{array}\right.}\)

Enfin, si p = 5/2, on trouve \(\displaystyle{\left\{\begin{array}{lll}x(t) & = & A\textrm{exp}(2t)+B\textrm{exp}(t/2) \\ y(t) & = & -2A\textrm{exp}(2t)-B/2\textrm{exp}(t/2)\end{array}\right.}\)

Notes

Noeud
Etant donné un système linéaire de dimension 2, de la forme
\(\displaystyle{\left\{\begin{array}{ll}x'=ax+by \\ y'=cx+dy\end{array}\right.}\)
on dit que le point stationnaire à l'origine est un noeud si la matrice \(\displaystyle{\left(\begin{array}{cc}a&b\\c&d\end{array}\right)}\) possède deux valeurs propres réelles non nulles de même signe.
On dit que le noeud est attractif si les valeurs propres sont négatives, répulsif si elles sont positives. Les trajectoires sont parcourues vers \(O\) si le noeud est attractif, depuis \(O\) s'il est répulsif.
Soit \(M\) un point stationnaire d'un système autonome de dimension 2. On dit que \(M\) est un noeud si le linéarisé du système au point \(M\) possède un noeud à l'origine.
Col
Etant donné un système linéaire de dimension 2, de la forme
\(\displaystyle{\left\{\begin{array}{ll}x'=ax+by \\ y'=cx+dy\end{array}\right.}\)
on dit que le point stationnaire à l'origine est un col si les valeurs propres de la matrice \(\displaystyle{\left(\begin{array}{cc}a&b \\ c&d\end{array}\right)}\)
sont réelles non nulles, de signes opposés.
Soit \(M\) un point stationnaire d'un système autonome de dimension 2. On dit que \(M\) est un col si le linéarisé du système au point \(M\) possède un col à l'origine.
Foyer
Etant donné un système linéaire de dimension 2 de la forme
\(\displaystyle{\left\{\begin{array}{ll}x'=ax+by \\ y'=cx+dy\end{array}\right.}\)
on dit que le point stationnaire à l'origine est un foyer si la matrice \(\displaystyle{\left(\begin{array}{cc}a&b \\ c&d\end{array}\right)}\) possède deux valeurs propres complexes conjuguées, qui ne sont ni réelles, ni imaginaires pures.
On dit que le foyer est attractif si la partie réelle commune des deux valeurs propres est négative, répulsif si cete partie réelle est positive. Les trajectoires sont des spirales autour de l'origine \(O\), parcourues vers \(O\) si le foyer est attractif, depuis \(O\) s'il est répulsif.
Soit \(M\) un point stationnaire d'un système autonome de dimension 2. On dit que \(M\) est un foyer si le linéarisé du système au point \(M\) possède un foyer à l'origine.