Cas d'une symétrie sphérique

Une distribution de charges sources a une symétrie sphérique si la densité de charges en un point \(M\) est uniquement fonction de la distance \(r\) à un centre \(O\) et non pas de la direction \(\overrightarrow{OM}\).

Exemples :

sphère métallique chargée en surface

nuage de charges sphérique de densité volumique \(\rho = \mathrm{constante}\)

nuage de charges sphérique de densité volumique \(\rho = f(r)\)

  1. par symétrie le champ est radial

  2. La surface de Gauss la plus adaptée est une sphère centrée sur \(O\) et passant par le point d'étude \(M\) (celui-ci peut être intérieur ou extérieur à la source)

point d'étude extérieur à la source

point d'étude intérieur à la source

3.

le flux s'exprime simplement \(\Phi = \oiint_{S_g} \vec E . \mathrm d \vec S\).

En effet : \(\vec E\) et \(\mathrm d \vec S\) sont colinéaires. Donc le flux \(\Phi\) se réduit à :

\(\Phi = \oiint_{S_g} \vec E . \mathrm d \vec S = \oiint_{S_g} E ~ \mathrm d S\)

\(E\) est le même en tout point de \(S_g\) par symétrie et peut donc être sorti de l'intégrale

\(\Phi = \oiint_{S_g} \vec E . \mathrm d \vec S = E~\oiint_{S_g} \mathrm d S = E~S_g\)

or l'aire totale de la surface de Gauss \(~S_g = 4 \pi r^2~\) donc \(~\Phi = E . 4\pi r^2\)

Il ne reste plus qu'à évaluer la charge intérieure au volume délimité par \(S_g\) suivant la distribution considérée. Le théorème de Gauss permet alors de déterminer l'amplitude du champ \(E\) en écrivant :

\(\Phi = E . 4\pi r^2 = \frac{Q_i}{\epsilon_0}\)