Aspect mathématique

Transformation d'un vecteur vrai[1] par une symétrie par rapport à un plan\((\pi)\)

Soit un vecteur \(\vec V\) et un plan quelconque \((\pi)\) ; les figures ci-dessous montrent comment ce vecteur se transforme en un vecteur \(\vec V^,\) par symétrie par rapport à \((\pi)\) .

  • \(\vec V\) est perpendiculaire à \((\pi)\) alors \(\vec V^, = -\vec V\)

ComplémentVisualisations des espaces 3D

  • Les représentations \(3\mathrm{D}\) sont visualisées par un applet Java.

  • \(\vec V\) est parallèle à \((\pi)\) alors \(\vec V^, = \vec V\).

ComplémentVisualisations des espaces 3D

  • Les représentations \(3\mathrm{D}\) sont visualisées par un applet Java.

  • \(\vec V\) est quelconque par rapport à \((\pi)\) alors :

    • pour les composantes perpendiculaires à \((\pi)\) on a : \(\vec V^,_\perp = -\vec V_\perp\)

    • pour les composantes parallèles à \((\pi)\) on a : \(\vec V^,_{ //} = \vec V_{ //}\)

ComplémentVisualisations des espaces 3D

  • Les représentations \(3\mathrm{D}\) sont visualisées par un applet Java.

Les composantes parallèles à \((\pi)\) se conservent.

Transformation d'un pseudo-vecteur[2] par une symétrie par rapport à un plan \((\pi)\) .

Soit un pseudo-vecteur \(\stackrel{\hookrightarrow}{V}_{3}\) défini par le produit vectoriel[3] \(\stackrel{\hookrightarrow}{V}_{3} = \vec V_1 \wedge \vec V_2\) et un plan quelconque \((\pi)\) ; les figures ci-dessous montrent comment ce pseudo-vecteur se transforme en un pseudo-vecteur \(\stackrel{\hookrightarrow}{V'}_{3}\) par symétrie par rapport à \((\pi)\)

  • \(\vec V_1\) et \(\vec V_2\) sont dans un plan \((P)\) perpendiculaire au plan \((\pi)\), alors\( \vec V^,_1\) et \(\vec V^,_2\) sont dans le même plan \((P)\) :\( \stackrel{\hookrightarrow}{V'}_{3}\)et \(\stackrel{\hookrightarrow}{V}_3\) sont parallèles au plan \((\pi)\) et \(\stackrel{\hookrightarrow}{V'}_{3}= -\stackrel{\hookrightarrow}{V}_{3}\) .

ComplémentVisualisations des espaces 3D

  • Les représentations \(3\mathrm{D}\) sont visualisées par un applet Java.

  • \(\vec V_1\) et \(\vec V_2\) sont contenus dans un plan parallèle à \((\pi)\), alors \(\vec V^,_1\) et \(\vec V^,_2\) sont également compris dans un plan parallèle à \((\pi)\) : \(\stackrel{\hookrightarrow}{V'}_{3}\) et \(\stackrel{\hookrightarrow}{V}_3\) sont perpendiculaires à \((\pi)\) et \(\vec V^,_3"retation = \vec V_3"retation\).

ComplémentVisualisations des espaces 3D

  • Les représentations \(3\mathrm{D}\) sont visualisées par un applet Java.

  • \(\vec V_1\) et \(\vec V_2\) sont quelconques par rapport à \((\pi)\) , alors \(\stackrel{\hookrightarrow}{V'}_{3 \perp} = \stackrel{\hookrightarrow}{V}_{3 \perp}\) et \(\stackrel{\hookrightarrow}{V'}_{3 //} = \stackrel{\hookrightarrow}{V}_{3 //}\)

ComplémentVisualisations des espaces 3D

  • Les représentations \(3\mathrm{D}\) sont visualisées par un applet Java.

Les composantes perpendiculaires à \((\pi)\) se conservent.