Théorème d'Ampère appliqué à un solénoïde (2)

Partie

Question

Soit un solénoïde parcouru par un courant d'intensité \(I\), constitué de \(n\) spires par unité de longueur.

Soit un contour fermé orienté \(\mathcal{C}\) dont la dimension le long de l'axe \(z\) est \(d\), comme indiqué sur la figure.

Exprimer la circulation du champ magnétostatique \(\vec B\) le long du contour \(\mathcal{C}\), en fonction de \(I\), \(d\) et \(n\).

Aide simple

La circulation de \(\vec B\) le long d'un contour fermé \(\mathcal{C}\) est donnée par le théorème d'Ampère.

Rappel de cours

Nom de l'outil

Comment s'énonce-t-il ?

Quand l'utiliser ?

Théorème

d'Ampère

\(\displaystyle{ \oint_{\mathcal C}\vec B.\vec{\mathrm{d}l}=\mu_0\sum I }\)

Pour calculer \(\vec B\) si la géométrie du problème permet un calcul simple de la circulation de \(\vec B\).

Loi de

Biot et Savart

\(\displaystyle{ \vec B(M)=\frac{\mu_0}{4\pi}\int_{\mathcal D}\vec{\mathrm{d} \mathcal C}(P)\wedge\frac{\vec{PM}}{PM^3} }\)

Pour calculer \(\vec B\) si la géométrie de la distribution ne permet pas une application simple du théorème d'Ampère.

Relation champ magnétostatique/

potentiel vecteur

\(\vec{B}(M)=\vec{\mathrm{rot}}\vec A(M)\)

Pour calculer \(\vec B\) si \(\vec A\) est connu.

Définition de la

force de Laplace

\(\vec{F_m}=\displaystyle{ \int_{\mathcal D}\vec{\mathrm{d} \mathcal C}(P)\wedge\vec B_{\mathrm{ext}}(P) }\)

Pour calculer la force qui s'exerce sur une distribution \(\mathcal D\) soumise à un champ magnétostatique extérieur \(\vec B_{\mathrm{ext}}\)

Théorème de

Maxwell

\(W_{2\leftarrow1}=I . \Phi_c\)

Pour calculer directement le torseur des forces qui agissent sur un circuit.

Définition du

potentiel vecteur

\(\displaystyle{ \vec A(M)=\int_{\mathcal D}\frac{\mu_0}{4\pi}\frac{\vec{\mathrm{d}\mathcal C}(P)}{PM} }\)

Pour calculer \(\vec A\) si la distribution a un haut degré de symétrie.

Solution détaillée

  • D'après le théorème d'Ampère, la circulation de \(\vec B\) le long d'un contour fermé \(\mathcal{C}\) s'écrit :

    \(\displaystyle{ \oint_{\mathcal{C}} \vec B . \vec{\mathrm{d}l} = \mu_0 . \sum I }\)

    où le terme \(\displaystyle{ \sum I}\) fait la somme algébrique des courants qui traversent \(\mathcal{C}\).

  • Ici plusieurs spires traversent \(\mathcal{C}\).

    Leur nombre \(N\) dépend de la dimension \(d\) du contour : \(N = n . d\)

  • L'application de la règle du tire-bouchon au contour orienté \(\mathcal{C}\) permet de déterminer le sens de la normale à \(\mathcal{C}\) :

Or le courant dans les spires qui traversent \(\mathcal{C}\) fuit vers l'arrière de la figure, il sera donc compté négativement.

  • En conclusion : \(\displaystyle{ \oint_{\mathcal{C}} \vec B . \vec{\mathrm{d}l} = - \mu_0 . N . I = - \mu_0 . n . d . I }\)