Calcul des forces : cas général

Le théorème de Maxwell[1] permet de déterminer le torseur des forces qui agissent sur un circuit sans faire appel à la force de Laplace[2] .

  • Pour une translation du circuit \(\overrightarrow{\mathrm{d}l}_d\), de composantes \(\mathrm{d}x\), \(\mathrm{d}y\), \(\mathrm{d}z\), le travail des forces a pour expression :

    \(\delta W = \vec F_m . \overrightarrow{\mathrm{d}l}_d = F_x \mathrm{d}x + F_y \mathrm{d}y + F_z \mathrm{d}z = I \mathrm{d}\Phi = I\Big[\frac{∂\Phi}{∂x}\mathrm{d}x + \frac{∂\Phi}{∂y}\mathrm{d}y + \frac{∂\Phi}{∂z}\mathrm{d}z\Big]\)

    Ainsi, par identification, on obtient les composantes de la force, soit :

    \(F_x = I\frac{∂\Phi}{∂x}\) , \(~~F_y = I\frac{∂\Phi}{∂y}\) , \(~~F_z = I\frac{∂\Phi}{∂z}\)

  • Pour une rotation \(\mathrm{d}\theta\) autour d'un axe \(\Delta\), le travail des forces a pour expression :

    \(\delta W = \mathcal{M}_{\Delta}\mathrm{d}\theta = I \mathrm{d}\Phi\)

    Le moment des forces magnétiques par rapport à cet axe de rotation s'écrit donc :

    \(\mathcal{M}_{\Delta} = I \frac{\mathrm{d}\Phi}{\mathrm{d}\theta}\)