Distance focale image

Partie

Question

On réalise des lentilles minces possédant un centre de symétrie S à l'aide d'un verre d'indice absolu N = 1,5.

Quels modules devrait-on donner au rayon de courbure R de ces lentilles, pour obtenir, dans l'air, les distances focales suivantes : 1cm, 2cm, 4cm, 8cm, 16cm, 32cm, 64cm.

Exprimer le module de la vergence

Aide simple

Le module de la vergence \(|V|=|n/f'|\) d'une lentille mince en verre d'indice \(N\), immergée dans un milieu d'indice \(n = 1\), est :

\(\frac n{f'}=(N-n)\cdot\left(\frac1{R_1}-\frac1{R_2}\right)|V|=(N-1)\cdot\left|\left(\frac1{R_1}-\frac1{R_2}\right)\right|\)

\(R_1=SC_1\)

\(R_2=SC_2\)

Rappel de cours
  • Tout rayon passant par le centre optique d'une lentille mince n'est pas dévié.

  • Tout rayon incident parallèle à l'axe principal émerge de la lentille en passant par le foyer principal image.

  • Tout rayon incident passant par le foyer objet émerge de la lentille parallèlement à l'axe principal.

  • Pour une lentille sphérique mince, il existe deux plans focaux symétriques par rapport à la lentille: le plan focal objet et le plan focal image. Ces plans comme les foyers qui les forment sont réels pour une lentille convergente et virtuels pour une lentille divergente.

  • Une lentille mince est optiquement définie par sa distance focale.

  • Les relations de conjugaison :

    • origine au centre

      \(-\frac1{\overline{OA}}+\frac1{\overline{OA'}}=\frac1{f'}\)

      \(\gamma=\frac{\overline{A'B'}}{\overline{AB}}=\frac{\overline{OA'}}{\overline{OA}}=\frac{p'}p\)

    • origine aux foyers

      \(\overline{FA}=x\) et \(\overline{F'A'}=x'\)

      \(x\cdot x'=-f'^2\)

      \(\gamma=\frac{f'}x=-\frac{x'}{f'}\)

Solution détaillée

Le module de la vergence \(|V|=|n/f'|\) d'une lentille mince en verre d'indice \(N\), immergée dans un milieu d'indice \(n = 1\), est :

\(\frac n{f'}=(N-n)\cdot\left(\frac1{R_1}-\frac1{R_2}\right)|V|=(N-1)\cdot\left|\left(\frac1{R_1}-\frac1{R_2}\right)\right|\)

\(R_1=SC_1\)

\(R_2=SC_2\)

\(\left|\frac1{f'}\right|=(N-1)\cdot\left|\left(\frac1{R_1}-\frac1{R_2}\right)\right|=(N-1)\cdot\left|\left(\frac2{R_1}\right)\right|=(N-1)\cdot\left|\left(\frac2{|R|}\right)\right|\)

La symétrie par rapport au centre \(( R_1 = - R_2 )\) et \(N = 1,5\) donne immédiatement \(f ' = R_1\) d'où: