Vergence et distance focale image

Partie

Question

Un fabricant de lentilles d'objectif pour appareil jetable utilise un moule de fabrication dont l'empreinte en creux sphérique de rayon \(R_1 = 8 \textrm{mm}\) détermine la courbure du dioptre d'entrée dans la lentille.

  1. Quel est le signe de la distance focale image du dioptre d'entrée dans cette lentille ? L'axe repère est orienté positivement dans le sens de propagation de la lumière.

  2. Sachant que ces lentilles minces sont en plastique d'indice moyen \(N = 1,5\) et de distance focale image \(f ' = 18 \textrm{mm}\), calculer le rayon \(R_2\) du dioptre de sortie de cette lentille ?

Utiliser la relation donnant la distance focale d'un dioptre sphérique.

Aide simple

La distance focale image d'un dioptre sphérique de rayon \(R =\overline{SC}\) composé d'un milieu d'incidence (d'entrée) d'indice \(n_1\) et d'un milieu d'émergence (de sortie) d'indice \(n_2\) est : \(\overline{SF'}=f'=\frac{n_2}{n_2-n_1}\cdot\overline{SC}\)

Aide détaillée

La distance focale image dans l'air \(f '\) d'une lentille mince de rayons \(\overline{S_1C_1}=R_1\) et \(\overline{S_2C_2}=R_2\) réalisée avec un milieu d'indice de réfraction moyen \(N\) est calculable par : \(\frac1{f'}=(N-1)\cdot\left(\frac1{R_1}-\frac1{R_2}\right)\)

Rappel de cours
  • Tout rayon passant par le centre optique d'une lentille mince n'est pas dévié.

  • Tout rayon incident parallèle à l'axe principal émerge de la lentille en passant par le foyer principal image.

  • Tout rayon incident passant par le foyer objet émerge de la lentille parallèlement à l'axe principal.

  • Pour une lentille sphérique mince, il existe deux plans focaux symétriques par rapport à la lentille: le plan focal objet et le plan focal image. Ces plans comme les foyers qui les forment sont réels pour une lentille convergente et virtuels pour une lentille divergente.

  • Une lentille mince est optiquement définie par sa distance focale.

  • Les relations de conjugaison :

    • origine au centre

      \(-\frac1{\overline{OA}}+\frac1{\overline{OA'}}=\frac1{f'}\)

      \(\gamma=\frac{\overline{A'B'}}{\overline{AB}}=\frac{\overline{OA'}}{\overline{OA}}=\frac{p'}p\)

    • origine aux foyers

      \(\overline{FA}=x\) et \(\overline{F'A'}=x'\)

      \(x\cdot x'=-f'^2\)

      \(\gamma=\frac{f'}x=-\frac{x'}{f'}\)

Solution détaillée
  1. Avec la convention d'orientation de l'axe, le dioptre d'entrée a un rayon \(\overline{S_1C_1}\) positif de même que \(N-1\) puisque \(N = c / v > 1\). Pour le dioptre sphérique étudié, le signe de :

    \(f'=\left(\frac N{N-1}\right)\cdot\overline{S_1C_1}\), c'est-à-dire \(\frac{(>0)}{(>0)}\cdot(>0)\) est \(>0f'>0\)

  2. Dans l'air d'indice \(n = 1\), la vergence \(\frac n{f'}=(N-n)\cdot\left(\frac1{R_1}-\frac1{R_2}\right)\) de cette lentille donne :

\(\frac1{f'}=(N-1)\cdot\left(\frac1{R_1}-\frac1{R_2}\right)\) ou \(\frac{N-1}{R_2}=\frac{N-1}{R_1}-\frac1{f'}\)

soit \(R_2=\frac{N-1}{\frac{N-1}{R_1}-\frac1{f'}}=\left(\frac{1}2\right)\cdot\left(\frac1{\frac1{12}-\frac1{18}}\right)=18 \textrm{mm}\)

\(R_2=18\textrm{mm}\)