Grandeurs - Symboles - Dimensions

Par hypothèse, nous posons : \(h = K ~{\overline{p}}^{\alpha}~ l^{\beta}~\omega^{\gamma} ~\tau^{\delta}\)

or

\(\textrm{dim }h = \textrm{dim }\overline{p}= \textrm{dim }(\textrm{ longueur }) = L\) ( 2 points )

\(\textrm{dim }\omega = \textrm{dim }(\textrm{ force }) / \textrm{dim }(\textrm{ volume }) = LMT^{-2} / L^{3} = L^{-2}MT^{-2}\) ( 2 points )

\(\textrm{dim }\tau = \textrm{dim }(\textrm{ force }) / \textrm{dim }(\textrm{ surface }) = LMT^{-2}/L^{2} = L^{-1}MT^{-2}\) ( 2 points )

L'équation aux dimensions conduit à identifier chaque membre de la relation à une longueur :

\((\textrm{dim }\textrm{(longueur)} = L)\).

\(\begin{array}{rl} \textrm{dim }h & = \textrm{dim }\big(\overline{p}\big)^{\alpha} \times \textrm{dim }\big(l \big)^{\beta} \times \textrm{dim }\big(\omega \big)^{\gamma} \times \textrm{dim }\big(\tau \big)^{\delta} \\ L & = \big(L \big)^{\alpha} \big(L \big)^{\beta} \big(L^{-2}MT^{-2} \big)^{\gamma} \big(L^{-1} MT^{-2}\big)^{\delta} \\ L & = L^{\alpha + \beta - 2 \gamma - \delta} M^{\gamma + \delta} T^{-2\gamma - 2 \delta} \end{array}\) ( 4 points )

Par identification:

\(\left.\begin{array}{ll} \textrm{Pour } L : & 1 = \alpha + \beta - 2 \gamma - \delta \\ \\ \textrm{Pour } M : & 0 = \gamma + \delta \\ \\ \textrm{Pour }T : & 0= -2 \gamma - 2 \delta \end{array}\right \} \begin{array}{ll} \textrm{En r\'esolvant par rapport \`a } \beta \textrm{ et } \gamma : \\ \\ \delta = - \gamma \\ \\ \alpha = 1 - \beta + \gamma \end{array}\)

d'où

\(h = K {\overline{p}}^{+1-\beta+\gamma} l^{\beta} \omega^{\gamma} \tau^{-\gamma}\) ( 5 points )