Opérations élémentaires sur les vecteurs [Vecteurs]

Opérations élémentaires sur les vecteurs

Partie

Question

Dans un repère orthonormé direct \(\big(O;\vec{i},\vec{j},\vec{k} \big)\) , on considère les vecteurs :

\(\vec{a} = -2 \vec{i} + 3 \vec{j} + \alpha \vec{k} ; ~\vec{b} = 6 \vec{i} - \beta \vec{j} + 3 \vec{k} ;~ \vec{c} = \vec{i} + 2 \vec{j} - 3 \vec{k}\) où \(\alpha\) et \(\beta\) sont des constantes à déterminer.

Pour quelles valeurs de \(\alpha\) et \(\beta\) les vecteurs \(\vec{a}\) et \(\vec{b}\) sont-ils colinéaires ?

Aide simple

Exprimer la relation de colinéarité entre les vecteurs \(\vec{a}\) et \(\vec{b}\) à l'aide d' un coefficient de proportionnalité \(\lambda\).

Aide détaillée

La condition de colinéarité \(\vec{a} = \lambda ~\vec{b}\) conduit par identification à la valeur de \(\lambda\) puis à celles de \(\alpha\) et \(\beta\)

Solution simple

La relation de colinéarité \(\vec{a} = \lambda ~\vec{b}\) fournit la valeur de \(\lambda = -1/3\) puis : \(\alpha = -1\) et \(\beta = 9\).

Solution détaillée

En posant \(\vec{a} = \lambda ~ \vec{b}\) nous obtenons :

\(-2 \vec{i} + 3 \vec{j} + \alpha \vec{k} = \lambda \Bigg(6 \vec{i} - \beta \vec{j} + 3 \vec{k} \Bigg) = 6 \lambda ~\vec{i} - \beta\lambda ~\vec{j} + 3 \lambda ~\vec{k}\)

Par identification : \(\left. \begin{array}{c} -2 = 6 \lambda \\ 3 = - \beta \lambda \\ \alpha = 3 \lambda \end{array}\right \} \begin{array}{c} \lambda = -1/3 \\ \beta = -3/\lambda = 9 \\ \alpha = 3 \lambda = -1 \end{array}\)

D'où les vecteurs : \(\vec{a} = -2 ~\vec{i} + 3 ~\vec{j} - \vec{k}\) ; \(\vec{b} = 6 ~\vec{i} - 9 ~\vec{j} + 3 ~\vec{k}\)

Question

Dans un repère orthonormé direct \(\big(O;\vec{i},\vec{j},\vec{k} \big)\) , on considère les vecteurs :

Calculer les modules des vecteurs \(\vec{a}\), \(\vec{b}\) et \(\vec{c}\) ainsi que ceux des associations

\(\Bigg(\vec{a} + \vec{b} \Bigg),~\Bigg(\vec{a} - \vec{b} \Bigg),~\Bigg(\vec{a} + \vec{c} \Bigg)\) et \(\Bigg(\vec{a} - \vec{c} \Bigg)\). On exprimera les résultats en fonction du facteur numérique \(\sqrt{14} \approx \mathrm{3,74}\).

Aide simple

Dans un repère orthonormé un vecteur \(\overrightarrow{V} = x ~\vec{i} + y ~\vec{j} + z ~\vec{k}\)

a pour module ou norme \(\Big\Arrowvert \overrightarrow{V} \Big\Arrowvert = \sqrt{x^{2} + y^{2} + z^{2}}\)

Aide détaillée

Définir les composantes des associations des vecteurs \(\vec{a}, ~\vec{b}\) et \(\vec{c}\) en déduire les modules.

Solution simple

Expressions des modules en fonction du facteur \(\sqrt{14}\):

\(\Big\Arrowvert \vec{a} \Big\Arrowvert = \sqrt{14} ;~ \Big\Arrowvert \vec{b} \Big\Arrowvert = 3 \sqrt{14} ;~ \Big\Arrowvert \vec{c} \Big\Arrowvert = \sqrt{14}\)

\(\Big\Arrowvert \vec{a} + \vec{b} \Big\Arrowvert = 2 \sqrt{14} ; \Big\Arrowvert \vec{a} - \vec{b}\Big\Arrowvert = 4 \sqrt{14} ; \Big\Arrowvert \vec{a} + \vec{c}\Big\Arrowvert = \sqrt{3} \sqrt{14} ; \Big\Arrowvert \vec{a} - \vec{c} \Big\Arrowvert = \sqrt{14}\)

Solution détaillée

Calcul des modules de \(\vec{a}\), \(\vec{b}\) et \(\vec{c}\) :

\(\vec{a} = -2 \vec{i} + 3 \vec{j} - \vec{k} \Rightarrow \Big\Arrowvert \vec{a} \Big\Arrowvert = \sqrt{(-2)^{2} + (3)^{2} + (-1)^{2}} = \sqrt{4 +9 +1} = \sqrt{14}\)

\(\vec{b} = -6 \vec{i} - 9 \vec{j} +3 \vec{k} \Rightarrow \Big\Arrowvert \vec{b} \Big\Arrowvert = \sqrt{(6)^{2} + (-9)^{2} + (3)^{2}} = \sqrt{36 +81 +9} = 3\sqrt{14}\)

\(\vec{c} = \vec{i} + 2 \vec{j} - 3\vec{k} \Rightarrow \Big\Arrowvert \vec{c} \Big\Arrowvert = \sqrt{(1)^{2} + (2)^{2} + (-3)^{2}} = \sqrt{1 +4 +9} = \sqrt{14}\)

\(\Bigg(\vec{a} + \vec{b} \Bigg) = 2 \Bigg(2 \vec{i} - 3 \vec{j} + \vec{k} \Bigg) \Rightarrow \Big\Arrowvert \vec{a} + \vec{b}\Big\Arrowvert = 2 \sqrt{(2)^{2} + (-3)^{2} + (1)^{2}} = 2 \sqrt{14}\)

\(\Bigg(\vec{a} - \vec{b} \Bigg) = 4 \Bigg(-2 \vec{i} + 3 \vec{j} - \vec{k} \Bigg) \Rightarrow \Big\Arrowvert \vec{a} - \vec{b}\Big\Arrowvert = 4 \sqrt{(-2)^{2} + (3)^{2} + (-1)^{2}} = 4 \sqrt{14}\)

\(\Bigg(\vec{a} + \vec{c} \Bigg) = - \vec{i} + 5 \vec{j} -4 \vec{k} \Rightarrow \Big\Arrowvert \vec{a} + \vec{c}\Big\Arrowvert = \sqrt{(-1)^{2} + (5)^{2} + (-4)^{2}} = \sqrt{3} \sqrt{14}\)

\(\Bigg(\vec{a} - \vec{c} \Bigg) = -3 \vec{i} + \vec{j} + 2\vec{k} \Rightarrow \Big\Arrowvert \vec{a} - \vec{c}\Big\Arrowvert = \sqrt{(-3)^{2} + (1)^{2} + (2)^{2}} = \sqrt{14}\)

Question

Dans un repère orthonormé direct \(\big(O;\vec{i},\vec{j},\vec{k} \big)\) , on considère les vecteurs :

Déterminer les composantes du vecteur \(\vec{d}\) vérifiant la relation vectorielle :

\(2 \vec{a} + \vec{b}/3 - \vec{c} + \vec{d} = \vec{0}\).

En déduire le vecteur unitaire \(\vec{u}\) porté par le vecteur \(\vec{d}\) .

Aide simple

Exprimer le vecteur \(\vec{d}\) en fonction des vecteurs \(\vec{a},~\vec{b}\) et \(\vec{c}\).

Aide détaillée

Connaissant les composantes des vecteurs \(\vec{a}, ~\vec{b}\) et \(\vec{c}\) , nous déterminons \(\vec{d}\) par :

\(\vec{d} = - 2 \vec{a} - \vec{b}/3 + \vec{c}\).

Le vecteur unitaire \(\vec{u}\) est défini par \(\vec{u} = \vec{d} / \Big\Arrowvert \vec{d} \Big\Arrowvert\).

Solution simple

Les composantes de \(\vec{d}\) se déduisent de celles de \(\vec{a}\) , \(\vec{b}\) et \(\vec{c}\) d'où :

\(\vec{d} = 3 \vec{i} - \vec{j} - 2 \vec{k} \Rightarrow \Big\Arrowvert \vec{d} \Big\Arrowvert = \sqrt{14}\)

et \(~\vec{u} = \frac{\vec{d}}{\Big\Arrowvert \vec{d} \Big\Arrowvert} = \frac{3}{\sqrt{14}} \vec{i} - \frac{1}{\sqrt{14}} \vec{j} - \frac{2}{\sqrt{14}}\vec{k}\)

Solution détaillée

Isolons le vecteur \(\vec{d}\) de la relation vectorielle :

\(\vec{d} = -2 \vec{a} - \frac{\vec{b}}{3} + \vec{c} = -2 \Big(-2 \vec{i} + 3 \vec{j} - \vec{k} \Big) - \frac{1}{3} \Big(6 \vec{i} - 9 \vec{j} + 3 \vec{k}\Big) + \vec{i} + 2 \vec{j} - 3 \vec{k}\)

\(\vec{d} = (4 -2 +1) \vec{i} + (-6+3+2) \vec{j} + (2-1-3) \vec{k}\)

\(\vec{d} = 3 \vec{i} - \vec{j} - 2 \vec{k}\)

d'où le vecteur unitaire \(\vec{u} = \frac{\vec{d}}{ \Big\Arrowvert \vec{d} \Big\Arrowvert}\)

avec \(\Big\Arrowvert \vec{d} \Big\Arrowvert = \sqrt{(3)^{2} + (-1)^{2} + (-2)^{2}} = \sqrt{14}\)

et \(~\vec{u} = \frac{3}{\sqrt{14}} \vec{i} - \frac{1}{\sqrt{14}} \vec{j} - \frac{2}{\sqrt{14}} \vec{k}\)